高考数学题库第5章第1节数列的概念与简单表示法.DOCVIP

2010~2014年高考真题备选题库 第5章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法 1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）若数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，则{an}的通项公式是an＝________. 解析：本题考查等比数列的定义、Sn与an之间的关系，意在考查考生利用分类讨论思想和等比数列的定义求解an的能力．求解本题时，按照n＝1和n≥2两种情况分类解答，当n≥2时，由已知得到Sn－1＝eq \f(2,3)an－1＋eq \f(1,3)，然后作差得an的表达形式，再利用等比数列的定义和通项公式求解．当n＝1时，由已知Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)，得a1＝eq \f(2,3)a1＋eq \f(1,3)，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到Sn－1＝eq \f(2,3)an－1＋eq \f(1,3)，所以an＝Sn－Sn－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an＋\f(1,3)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)an－1＋\f(1,3)))＝eq \f(2,3)an－eq \f(2,3)an－1, 所以an＝－2an－1，所以数列{an}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1. 答案：(－2)n－1 2．（2013江西，5分）正项数列{an}满足：aeq \o\al(2,n)－(2n－1)an－2n＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝eq \f(1,?n＋1?an)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：本题主要考查数列的概念、一元二次方程、裂项求数列的和，旨在考查考生的转化、化归能力与运算求解能力． (1)由aeq \o\al(2,n)－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0. 由于{an}是正项数列，所以an＝2n. (2)由an＝2n，bn＝eq \f(1,?n＋1?an)， 则bn＝eq \f(1,2n?n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))). Tn＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n－1)－\f(1,n)＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝ eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq \f(n,2?n＋1?). 3．（2010安徽，5分）设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　) A．15 B.16 C．49 D．64 解析：a8＝S8－S7＝82－72＝15. 答案：A 4．（2012湖北，5分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}．可以推测： (1)b2012是数列{an}中的第________项； (2)b2k－1＝________.(用k表示) 解析：求出数列{an}，{bn}的通项公式．由题意可得an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2)，n∈N*，故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15，由上述规律可知：b2k＝a5k＝eq \f(5k?5k＋1?,2)(k为正整数)，b2k－1＝a5k－1＝eq \f(?5k－1??5k－1＋1?,2)＝eq \f(5k?5k－1?,2)， 故b2 012＝b2×1 006＝a5×1 006＝a5 030，即b2 012是数列{an}中的第5 030项。 答案：(1)5 030；(2)eq \f(5k?5k－1?,2) 5．（2010辽宁，5分）已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则eq \f(an,n)的最小值为________． 解析：在an＋1－an＝2n中，令n＝1，得a2－a1＝2； 令n＝2得，a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)． 把上面n－1个式子相加，得an－a1＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝eq \f(?2＋2n－2??n－1?,2)＝n2－n， ∴an＝n2－n＋33. ∴eq \f(an,n)＝eq \f(n2－n＋33,n)＝n＋eq \f(33,n)－1≥2eq \r(33)－1， 当且仅当n＝eq \f(33,n)，即n＝eq \r(33)时取等号，而n∈N*， ∴“＝”取不到．