高考数学题库第3章第3节三角函数图像与性质.docVIP

PAGE 1 PAGE 9 2010~2014年高考真题备选题库 第3章 三角函数、解三角形 第3节 三角函数图像与性质 1．(2014·陕西，2,5分)函数f(x)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最小正周期是(　　) A.eq \f(π,2) B．π C．2π D．4π 解析：选B　∵T＝eq \f(2π,2)＝π，∴B正确． 2．(2014·北京，14,5分)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A0，ω0)．若f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，则f(x)的最小正周期为________． 解析：∵f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))，∴x＝eq \f(π,2)和x＝eq \f(2π,3)均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝eq \f(\f(π,2)＋\f(2π,3),2)＝eq \f(7π,12)处取得，∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，∴x＝eq \f(π,6)也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有单调性，∴x＝eq \f(π,6)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,2)))＝eq \f(π,12)为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,12)))＝π. 答案：π 3．(2014·天津，15,13分)已知函数f(x)＝cos x·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq \r(3)cos2x＋eq \f(\r(3),4)，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值和最小值． 解析：(1)由已知，有 f(x)＝cos x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cos x))－eq \r(3)cos2x＋eq \f(\r(3),4) ＝eq \f(1,2)sin x·cos x－eq \f(\r(3),2)cos2x＋eq \f(\r(3),4) ＝eq \f(1,4)sin 2x－eq \f(\r(3),4)(1＋cos 2x)＋eq \f(\r(3),4) ＝eq \f(1,4)sin 2x－eq \f(\r(3),4)cos 2x ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))). 所以，f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π. (2)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上是减函数，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上是增函数． feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq \f(1,4)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－eq \f(1,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝eq \f(1,4). 所以，函数f(x)在闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的最大值为eq \f(1,4)，最小值为－eq \f(1,2). 4．(2014·福建，16,1