同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章中值定理与导数的应用.pdfVIP

. 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2 、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函 数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3 、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。 4 、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5 、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6 、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点 ： 1 、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2 、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3 、函数图形的凹凸性； 4 、洛必达法则。 教学难点： 1 、 罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2 、 极值的判断方法； 3 、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4 、洛必达法则的灵活运用。 §3 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 0 0 0 0 设函数 f ( x ) 在点 x 的某邻域 U( x ) 内有定义 并且在 x 处可导 如果对任意 x U( x ) 有 f ( x) f ( x0 ) ( 或 f ( x) f ( x0 )) 0 那么 f ( x ) 0 罗尔定理 如果函数 y f ( x ) 在闭区间 [ a, b] 上连续 在开区间 ( a, b) 内可导 且有 f ( a) f ( b) 那么在 ( a, b) 内至少在一点 使得 f ( ) 0 简要证明 (1) 如果 f ( x ) 是常函数 则 f ( x ) 0 定理的结论显然成立 (2) 如果 f ( x ) 不是常函数 则 f ( x) 在( a b) 内至少有一个最大值点或最小值点 不妨设有一 最大值点 ( a b) 于是 f (x) f ( ) f ( ) f ( ) lim 0 x x f (x) f ( ) f ( ) f ( ) lim 0 x x . . 所以 f ( x)=0. 罗尔定理的几何意义 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a b] 上连续 在开区间 ( a b) 内可导 那么在 ( ) 内至少有一点 ( ) 使得等式 a b a b f ( b) f ( a) f ( )( b a) 成立 拉格朗日中值定理的几何意