第二章 科学严谨的几何证明.pptVIP

初等几何研究;02;主要内容;学习重点： 重点是几何题的各种证明方法及应用．同一法、三角法、向量法等方法的应用是难点． 度量关系：线段或角的相等；和差倍分线段角；比例线段；定值问题的证法； 位置关系：平行的证法；垂直的证法；共线点的证法；共点线的证法；共圆点的证法；共点圆的证法； ;§1 几何证明概述;一、几何证明的一般方法;一、几何证明的一般方法 2.按推理的序列方向分;一、几何证明的一般方法 3.按所证明的命题类型分;间接证法包括反证法与同一法 ①反证法：由否定结论的正确性出发，根据假设，定义，公理，定理进行一系列正确的推理，最后得出一个与命题的假设或某个公理，定理或自相矛盾的结果，表明结论的反面不能成立，从而可以肯定原结论的正确性． 利用反证法，当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成了证明，这种反证法叫归谬法； 当结论的反面有多款时，必须驳倒其中每一款，这种反证法称为穷举法． ②同一法：若欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，有时可以作出具有所有性质的图形，然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个，把他们等同起来，这种证明方法称为同一法．;一、几何证明的一般方法 4.按所选知识工具分;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;§1 几何证明概述;第三届(1993年)澳门数学竞赛题; 第十四届(2001年)爱尔兰数学竞赛题； 第十八届(1958年)普特南数学竞赛题； 第二十六届(1994年)加拿大数学竞赛题； 首届(1987年)“友谊杯”国际数学竞赛题. ”;1.图中，过AB为直径的半圆上任一点C,作CD垂直AB于D,圆H与CD、弧BC分别相切于E、F，又与AB相切于G，求证：AC=AG;2.在正方形ＡＢＣD中，作DE∥AC，在DE上取一点F，使AF=AC，又作CE∥AF，交DE于F，求证：∠DAF=∠FAE=∠EAC．;3.已知：AC⊥AB，BD ⊥AB，AD与BC交于E，过E作EF⊥AB???F，求证：∠AFC=∠BFD．;思考题：;思考题： 2.在△ＡＢＣ的两边ＡＢ和ＡＣ向外作正方形ＡＢＥＦ和ＡＣＧＨ，则： （1）△AＢＣ的高线ＡＤ必平分ＦＨ； （2）反之，△AFH的中线AM必垂直于BC.;思考题： 3.证明：梯形两条对角线的中点连线平行于底边且等于两底之差的一半．;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;例3．证明等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为常量． 设Ｐ为等腰三角形ＡＢＣ 底边ＢＣ上任一点ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥ＡＣ，　　　　　　 证明:ＰＤ＋ＰＥ为常量．;例4：从圆心Ｏ向已知直线l作垂线OM，通过垂足M任作两条直线AB和CD，交圆于A，B，C，D．交直线l于P、Q.求证：MP=MQ．;例4：从圆心Ｏ向已知直线l作垂线OM，通过垂足M任作两条直线AB和CD，交圆于A，B，C，D．交直线l于P、Q.求证：MP=MQ．;例4：如图，已知AC=CB,求证：MC=CN．;例4：如图，已知AC=CB,求证：MC=CN．;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;§2 证度量关系;平面几何中的位置关系证明问题：;一、 平行、垂直;一、 平行、垂直;一、平行、垂直;一、 平行、垂直;一、 平行、垂直;一、平行、垂直;§3 位置关系的证明;§3 位置关系的证明;§3 位置关系的证明;二、共点线的证法;二、共点线的证法;§3 位置关系的证明;三、共线点的证法;三、共线点的证法;§3 位置关系的证明;§3 位置关系的证明;§3 位置关系的证明;§3 位置关系的证明;§3 位置关系的证明;§3 位置关系的证明;§3 位置关系的证明;四、共圆点的证法;四、共圆点的证法;九点圆的性质;五、共点圆的证法;五、共点圆的证法;例3．密克（Miquel ）定理： 在△ＡＢＣ三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ所在直线上分别取Ｘ，Ｙ，Ｚ三点，则⊙ＡＹＺ，⊙ＢＺＸ，⊙ＣＸＹ