专题04 保值（倍值）问题（解析版）.doc免费

专题四 保值（倍值）问题 对于函数，若存在区间，当时，的值域为 (＞0），则称为倍值函数，特别地，时，称为保值函数.此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可转化为方程同解问题，考查分类讨论、等价转化、数形结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题. 类型一 单调函数中保值问题 典例1 已知关于的函数的定义域为，若存在区间使得的值域也是，则当变化时，的最大值为 . 【答案】 【解析】首先观察到函数为定义域内的增函数；则有：,得到，则. 那么：. 类型二 非单调函数中保值问题 典例2若函数在区间上的最小值为，最大值为，求. 【答案】或. 【解析】分如下三种情形来讨论区间.（1）当时，在区间上单调递增，所以，，即 所以、是方程的两个不同实根，而方程的两根异号，不可能.（2）当时，在上递增，在上递减，故，且.由，得. 于是.而，故，所以，即.解方程，得. 此时.（3）当时，在上递减，于是，，即 解方程组，得，，此时.综上所述，所求的区间为或. 类型三 单调函数中倍值问题 典例3 对于函数，若存在区间，当时，的值域为 (＞0），则称为倍值函数。若是倍值函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】观察到函数为增函数，那么，则： 在上有两个互异正根，转化为； 令，得到，当；当；且当时，；当时，(此处易错！)；画出图像： 则有：，即 . 类型四 非单调函数中倍值问题 典例4.已知函数，若存在实数使得的定义域是，值域是，则实数的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 ，舍去， 为方程两个大于1的根，所以 ，舍去 综上实数的取值范围为 1. 若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】观察得到函数在区间为减函数，则有： ① ② 由①②得到： ③； ④； ⑤； 令，即有； 代入④得到，即，其中. 那么代入⑤得到 ； 由可知，利用二次函数图象可知， 即. 2．对于区间，若函数同时满足下列两个条件：①函数在上是单调函数；②函数当定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值区间”． （1）写出函数的保值区间； （2）函数是否存在保值区间？若存在，求出相应的实数的取值范围； 若不存在，试说明理由． 【答案】（1）（2） 【解析】解：（1） （2）由题易得：或者 （i）当时，此时，则可将视为方程的两个非负实数根，则； （ii）当时， 可将问题转化为方程有两个非负实数解 数形结合可得，综上： 3．已知函数的图像关于坐标原点对称，且与轴相切. （1）求实数的值； （2）是否存在实数，使函数在区间上的值域仍为？若 存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）（2）不存在 【解析】（1） （2）当时为方程两根，而方程仅有一根，所以舍去；当时，舍去；当时，舍去，因此不存在. 4. 若函数同时满足下列条件：① 为上单调函数；② 存在区间，使在上的值域为；则叫做闭函数. 若函数是闭函数，求实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】首先，观察到函数为定义域内单调增函数；则有： 在 内有两个互异实根. 亦即：方程在内有两个互异实根与的图像有两个不同的交点； 下画出图像：得到当直线的纵截距时，满足题意，从而得到. 5. 数的定义域为，若满足：① 为上单调函数；② 存在区间，使在上的值域为；则叫做对称函数. 现有是对称函数，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】首先，观察到函数为定义域内单调减函数；则有： 在内有两个互异实根. 亦即：方程在内有两个互异实根与的图像有两个不同的交点； 数形结合得到当直线的纵截距时，满足题意. 6. 若函数在区间上的值域为,则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】首先，观察到函数为定义域内单调增函数；则有： 在上有两个不同的根； 再转化为函数和有两个交点，利用图像： 首先，时，过点与曲线有两个交点； 其次，考虑相切的临界情况，可利用平方后二次函数的得到；(避免求导). 则得到. 7. 已知函数函数的最小值为. （1）求； （2）是否存在实数m，n同时满足下列条件：①mn3；②当的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？ 若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）（2）不存在 【解析】解：（1）∵ 设 当时； 当时，； 当 ∴ （2）∵mn3， ∴上是减函数. ∵的定义域为[n，m]；值域为[n2，m2]， ∴ 可得 ∵mn3， ∴m+n=6，但这与“mn3”矛盾. ∴满足题意的m，n不存在．