专题05 零点存在定理中取点问题（解析版）.doc免费

专题五 零点存在定理中取点问题 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.在实际应用中，如何取，是解决问题的难点. 类型一 利用方程的根或部分代数式的根取点 典例1 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）试求的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1）（2）当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点． 【解析】 （1）当时， ，则， 而在上恒成立，所以在上递减， ， ， 所以在上存在唯一的，使得，而且 当时， ， 递增；当时， 递减； 所以，当时， 取极大值，也是最大值，即， ， 所以， 在上的值域为. （2）令，得， 显然不是方程的根， 那么原方程等价于实根的个数，令， 原命题也等价于在上的零点个数； 又因为，所以在和上都是单调递增的； （I）若，则 当时， 恒成立，则没有零点； 当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点。 （II）若，则 当时， 恒成立，则没有零点； 当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点 （III）若，则 当时，由 ，则， 则取，则，又，所以在有唯一的零点， 当时， ， ，又在上单调递增的，所以有唯一的零点 综上所述，当时， 只有一个零点；当时， 有两个零点． 【名师指点】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 类型二 利用放缩法取点 典例2已知，且，函数，其中为自然对数的底数： （1）如果函数为偶函数，求实数的值，并求此时函数的最小值； （2）对满足，且的任意实数，证明函数的图像经过唯一的定点； （3）如果关于的方程有且只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1） 的最小值为2（2）见解析（3），或 【解析】 （1）由得： ，解得（舍），或， 经检验为偶函数 ∴. 又，当且仅当时取等号， ∴的最小值为2. （2）假设过定点，则对任意，且恒成立. 令得： ；令得： ， ∴， ，解得唯一解 ∴ 经检验当时， ∴函数的图像经过唯一定点. （3）令为上连续函数，且，则方程存在一个解. 当时， 为增函数，此时只有一解. 当时，令 ，解得. 因为， ， ，令 ， 为增函数. 所以当时， ，所以， 为减函数； 当时， ，所以， 为增函数. 所以，又定义域为，所以. ①若， 在上为减函数， ，而. 所以时， 至少存在另外一个零点，矛盾！ ②若， 在上为增函数， ，而，所以在存在另外一个解，矛盾！ ③当，则，解得，此时方程为， 由（1）得，只有唯一解，满足条件 综上，当，或时，方程有且只有一个解. 【名师指点】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 类型三 利用尝试法取点 典例3 已知函数 .若函数有个零点，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】令 当时有两个零点，需 当时有三个零点， ， 所以函数有5个零点，舍； 当时，由于 所以 ，且 ，所以 综上实数的取值范围是 【名师指点】求解复合方程问题时，往往把方程分解为和处理，先从方程中求，再带入方程中求的值． 1. 设函数（其中为自然对数的底数，），曲线在点处的切线方程为. （1）求； （2）若对任意，有且只有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）实数的取值范围为. 【解析】 （2）由（1）得，， ①当时，由得，由得，此时在上单调递减，在上单调递增，∵， （或当时，亦可）∴要使得在上有且只有两个零点， 则只需，即， 6分 ②当时，由得或；由得.此时在上单调递减，在和上单调递增， 此时，∴此时在至多只有一个零点，不合题意， 9分 ③当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，∴在至多只有一个零点，不合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 12分 2．已知函数， . (1)若曲线的一条切线经过点，求这条切线的方程. (2)若关于的方程有两个不相等的实数根x1，x2。 ①求实数a的取值范围； ②证明： . 【答案】（1）或.（2）①②见解析 【解析】 解:(1)解法一 设经过点的切线与曲线相切于点， 由得， 所以该切线方程为， 因为该切线经过， 所以，解得， 所以切线方程为或. 解法二 由题意得曲线的切线的斜率一定存在，