专题03 折线函数问题(原卷版).docx免费

专题三 折线函数问题 折线函数问题是高中数学中分类讨论思想的典型体现．近年来，高考对折线函数的命题常与绝对值综合考查，既考查对绝对值定义、含绝对值函数图像变换的理解，又考查与函数、方程、不等式等综合的运用，着重考查分类讨论思想在解题中运用． 类型一 一次函数中折线函数问题 典例1 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝eq \f(1,2)(|x－a|＋|x－2a|－3|a|)．若集合{x|f(x－1)－f(x)＞0，x∈R}＝ ，则实数a的取值范围为____________． 【举一反三】已知函数f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+…+|100x-1|，则当x=_____时，f(x)取得最小值． 类型二 二次函数中折线函数问题 典例2已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝|x2－2x＋eq \f(1,2)|.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是____________． 类型三 高次函数中折线函数问题 典例3 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－|x3－2x2＋x|，x＜1，,lnx，x≥1，))若对于t∈R，f(t)≤kt恒成立，则实数k的取值范围是____________． 1. 已知函数f(x)＝|lnx|，g(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0x≤1，,|x2－4|－2，x1，))则方程|f(x)＋g(x)|＝1实根的个数为____________． 2．已知直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))恰有四个不同的交点，则实数k的取值范围为________． 3．若函数f(x)＝x2|x－a|在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________． 4. 已知函数f(x)＝|x3－4x|＋ax－2恰有2个零点，则实数a的取值范围为________． 5. 函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x，x＞0，,\f(1,2)－|\f(1,2)＋x|，x≤0，))若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为____________． 6. 已知f(x)是定义在[1，＋∞)上的函数，且f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－|2x－3|，1≤x＜2，,\f(1,2)f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))，x≥2，))则函数y＝2xf(x)－3在区间(1，2 015)上零点的个数为________． 7. 已知函数f(x)＝eq \f(x＋1,|x|＋1)，x∈R，则不等式f(x2－2x)＜f(3x－4)的解集是__________． 8. 若函数f(x)＝ax2＋20x＋14(a0)对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1、x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，则实数a的最小值为________． 9. 设函数f(x)＝(x－a)|x－a|＋b(a、b都是实数)．则下列叙述中，正确的是________．(填序号) ① 对任意实数a、b，函数y＝f(x)在R上是单调函数； ② 存在实数a、b，函数y＝f(x)在R上不是单调函数； ③ 对任意实数a、b，函数y＝f(x)的图象都是中心对称图形； ④ 存在实数a、b，使得函数y＝f(x)的图象不是中心对称图形． 10. 在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径称为到的一条“折线路径”，所有“折线路径”中长度最小的称为到的“折线距离”．如图所示的路径与路径都是到的“折线路径”．某地有三个居民区分别位于平面内三点，，，现计划在这个平面上某一点处修建一个超市． （1）请写出点到居民区的“折线距离”的表达式（用表示，不要求证明）； （2）为了方便居民，请确定点的位置，使其到三个居民区的“折线距离”之和最小． 11. 若函数的最小值为3，则实数的值为___________. 12. 对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数． （1）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由； （2）设是（1）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围； （3）函数是区间上的“平底型”函数，求和值