高中数学集合经典习题.ppt

解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)．设折叠时，⊙O上点 A’(Rcosα,Rsinα) 与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA’的中垂线．设P(x，y)为MN上任一点，则｜PA’｜＝｜PA｜ ≤1　(此不等式也可直接由柯西不等式得到) 1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) * 平方后可化为　 　　即所求点的集合为椭圆 圆外(含边界)的部分 。 * * 集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 〖集合划分〗如果集合S＝S1∪S2∪……∪Sn，则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个覆盖；如果同时又有Si∩Sj＝φ(i≠j),则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个划分. * 说明：这里运用了整体处理的思想及公式1＋2＋…＋n＝(1/2)n(n+1)，其理论依据是加法的交换律、结合律、乘法的意义等。得出集合中每一个元素都在总和中出现了2n-1次，是打开解题思路之门的钥匙孔。 * 例４．求证不小于５的质数的平方与１的差是２４的倍数 例５．求证：任何整数可表示为５个整数的立方和 * * * 1.集合与集合：A B,A?B,A?B,A∩B,A∪B, UA,…… 2差集：A－B＝{x|x∈A且x?B}(部分资料上用 “A\B”表示) 3.集合运算律：(略) 4.n个元素的集合所有子集个数为：2n * 已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}， A∪B ＝{1，3，x}，则这样的x的不同的值有( )个A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知集合M中的元素都是自然数，且如果x∈M， 则8－x∈M，则满足这样条件的集合M的个数为( ) A.64 B.32 C.16 D.8 3.求集合{x∈Z| ≤2x＜32}的真子集个数. 4.已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且M＝N，求q的值. 一.集合与集合的运算 * 　例5．已知集合M＝{直线}，N＝{抛物线}，则M∩N中元素的个数为( ) 　(A)0； (B)0,1，2其中之一； (C)无穷； (D)无法确定 [分析]M中的元素为直线，是无限集；N中的元素为抛物线，它也是无限集。由于两集合中的元素完全不同，即既是直线又是抛物线(曲线)的图形根本不存在，故M∩N＝φ，选(A) [说明]若想当然地误认为M中的元素是直线上的点，N中的元素是抛物线上的点，当误认为是判断直线与抛物线的位置关系即相交，相切、相离时，会选(B)； * 例6．已知A＝{y|y＝x2－4x＋3，x∈R}，B＝{y∣y＝－x2－2x＋2，x∈R}，求A∩B 先看下面的解法：　　解：联立方程组　　　　y＝x2－4x＋3　　　①　　　　y＝－x2－2x＋2　　② ①－②消去y，得 　　　　2x2－2x＋1＝0　　　　 ③ 　　因为Δ＝(－2)2－4×2×1＝－40，方程③无实根，故A∩B＝φ 上述解法对吗？ * 　　[说明]上述解法对吗？画出两抛物线的图象：y＝x2－4x+3=(x-1)(x-3),开口向上，与x轴交于(1,0)、(3,0)，对称轴为x＝2，纵截距为3；y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3，开口向下，与x轴交于(－1－√3,0)、(－1＋√3,0)，对称轴为x＝－1，观察可知，它们确实没有交点，但这解答对吗？ 4 2 -2 -4 -5 5 * 4 2 -2 -4 -5 5 回头审视两集合A、B，它们并不是由抛物线上的点构成的点集。两集合中的元素都是实数y，即当x∈R时相应的二次函数的函数值所组成的集合，即二次函数的值域集合。故由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3≤3，可知A＝{y∣y≥－1}， B＝{y∣y≤3}，它们的元素 都是“实数”，从而有 M∩N＝{y∣－1≤y≤3} 　　你看，认清集合中 元素的构成是多么重要！ * 二.集合与集合的包容关系 在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。 * 例7.已知集合A中有10个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定存在这样两个A的子集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等. * 证明：这10个元素的总和S＜100×10＝1000而A的子集总共有210＝1024＞1000＞S