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PAGE PAGE 2 常微分方程解的存在唯一性定理 一阶微分方程 （1） 其中是在矩形域上的连续函数。 定义1 ?如果存在常数，使得不等式 ?对于所有 ?都成立，则函数称为在上关于满足Lipschitz条件。 定理1 如果在上连续且关于满足Lipschitz条件， 则方程(1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件， 这里，。 Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想。 首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程 ?的连续解。然后去证明积分方程的解的存在唯一性。 任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数 ?，显然 也是连续函数， 如果,那末就是积分方程的解。否则,我们又把代入积分方程右端的，得到 ?，如果，那末就是积分方程的解。否则我们继续这个步骤。一般地作函数 ???(3.1.1.4) 这样就得到连续函数序列：，，…，，…如果，那末就是积分方程的解。如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即 ?存在，因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到 即，这就是说是积分方程的解。这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。函数称为初值问题的第次近似解。 命题1 设是方程(1)的定义于区间上，满足初始条件的解，则是积分方程 的定义于上的连续解。反之亦然。 现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下： ? 命题2? 对于所有的， 函数在上有定义、连续且满足不等式 。 命题3? 函数序列在上是一致收敛的。 设 ?则也在上连续，且 。 命题4? 是积分方程的定义于上的连续解。 命题5? 设是积分方程的定义于上的一个连续解，则， ?。 综合命题1—5，即得到存在唯一性定理的证明。
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