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第四章 圆与方程 知识点与习题
1、圆的定义: 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆的半径。
设 M( x,y)为⊙ A 上任意一点,则圆的集合可以写作: P = { M | |MA| = r }
2、圆的方程
(1)标准方程
x
a
2
y
2
r 2
,圆心 a,b
,半径为 r;
b
点 M (x0 , y0 ) 与圆 ( x
a) 2
( y b) 2
r 2 的位置关系:
当 ( x0
a)2
( y0
b)2
r 2 ,点在圆外 ;
当 (x0
a) 2
( y0
b)2
= r 2 ,点在圆上
当 ( x0
a)2
( y0
b)2 r 2 ,点在圆内 ;
(2)一般方程 x2
y 2
Dx
Ey
F
0
2
2
2
2
( D
2
E
2
4F
0 )
(x+D/2) +(y+E/2) =(D +E -4F)/4
1 D 2
当 D 2
E 2
4F
0
时,方程表示圆,此时圆心为
D ,
E
,半径为 r
E 2
4F
2
2
2
当 D 2
E 2
4F
0
时,表示一个点;
当 D 2
E 2
F
0
时,方程不表示任何图形。
4
(3)求圆的方程的方法:
待定系数法:先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出 a, b, r;若利用一般方程,需要求出 D, E, F;
直接法: 直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置 。
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有
相离,相切,相交
三种情况:
(1)设直线 l : Ax By
C
0,圆 C : x
a
2
y
b
2
r
2
Aa
Bb C
,
,圆心 C a, b 到 l 的距离为 d
B 2
A2
则有 d r
l与 C 相离 ; d
rl 与 C相切 ; d r
l与 C相交
(2)过圆外一点的切线 :设点斜式方程,用 圆心到该直线距离 =半径 ,求解 k,
①若求得两个不同的解,带入所设切线的方程即可;
②若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线(此时,该直线一定为另一条切线)
2 2
过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a) +(y-b) =r , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为
(x 0-a)(x-a)+(y
0-b)(y-b)= r
2
两圆的位置关系
判断条件
公切线
条数
外离
d>r 1+r 2
4 条
外切
d=r 1+r 2
3 条
相交
| r 1-r 2| <d<r 1+r 2
2 条
内切
d= | r 1-r 2|
1 条
内含 d< | r 1-r 2| 0 条
4、圆与圆的位置关系: 通过两圆半径的和(差) ,与圆心距( d)之间的大小比较来确定。
设圆 C1 : x a1
2
y b1
2
r 2 , C 2 : x a 2
2
y b2
2
R 2
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差的绝对值)
,与圆心距( d)之间的大小比较来确定。
(即几何法)
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
2
2
2
2
1
联立圆 C1
的方程与圆 C2 的方程得到一个二元一次方程
① 若两圆相交,则该二元一次方程表示:圆
1
与圆 C2
公共弦所在的直线方程
;
C
② 若两圆相切,则该二元一次方程表示:圆
C1 与圆 C2 的公切线的方程;
③ 若两圆外离,则该二元一次方程表示的直线具有一个性质:从直线上任意一点
向两个圆引切线
,
得到的 切线长相等 (反之,亦成立)
★6、已知一直线与圆相交,求弦的长度
①代数法:联立圆与直线的方程求出 交点坐标 ,利用 两点间的距离公式
②几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理)
求弦长
★7、已知两圆相交,求公共弦的长度
①代数法:联立两圆的方程求出 交点坐标 ;利用 两点间的距离公式
③几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理)
求弦长
8、圆系与圆系方程
圆系 :具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系。
圆系方程:
2
2
2
2
1
圆系方程: x2 2
1
y+F
1+λ (x
2
2
2
2
(Ⅰ)
+y +D
x+E
+y +D x+E
y+F )=0
①若圆 C1 与圆 C2 交于 P1、 P2 点,那么,方程(Ⅰ)代表过
P1、P2 两点的圆的方程。
② 若圆 C 与圆 C2 交于 P 点(一个点),则方程(Ⅰ)代表过
P 点的圆的方程。
1
9、直线与圆的方程的应用
用
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