高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程.docxVIP

第四章 圆与方程 知识点与习题 1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 设 M（ x,y）为⊙ A 上任意一点，则圆的集合可以写作： P = { M | |MA| = r } 2、圆的方程 （1）标准方程 x a 2 y 2 r 2 ，圆心 a,b ，半径为 r； b 点 M (x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的位置关系： 当 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 ，点在圆外 ; 当 (x0 a) 2 ( y0 b)2 = r 2 ，点在圆上 当 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 ，点在圆内 ; （2）一般方程 x2 y 2 Dx Ey F 0 2 2 2 2 （ D 2 E 2 4F 0 ） （x+D/2) +(y+E/2) =(D +E -4F)/4 1 D 2 当 D 2 E 2 4F 0 时，方程表示圆，此时圆心为 D , E ，半径为 r E 2 4F 2 2 2 当 D 2 E 2 4F 0 时，表示一个点； 当 D 2 E 2 F 0 时，方程不表示任何图形。 4 （3）求圆的方程的方法： 待定系数法：先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a， b， r；若利用一般方程，需要求出 D， E， F； 直接法： 直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置 。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有 相离，相切，相交 三种情况： （1）设直线 l : Ax By C 0，圆 C : x a 2 y b 2 r 2 Aa Bb C ， ，圆心 C a, b 到 l 的距离为 d B 2 A2 则有 d r l与 C 相离 ； d rl 与 C相切 ； d r l与 C相交 （2）过圆外一点的切线 ：设点斜式方程，用 圆心到该直线距离 =半径 ，求解 k， ①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可； ②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此时，该直线一定为另一条切线） 2 2 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 ： 圆 (x-a) +(y-b) =r ， 圆 上 一 点 为 (x0 ， y0) ， 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 两圆的位置关系 判断条件 公切线 条数 外离 ｄ＞ｒ 1+ｒ 2 4 条 外切 ｄ＝ｒ 1+ｒ 2 3 条 相交 | ｒ 1-ｒ 2| ＜ｄ＜ｒ 1+ｒ 2 2 条 内切 ｄ＝ | ｒ 1-ｒ 2| 1 条 内含 ｄ＜ | ｒ 1-ｒ 2| 0 条 4、圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : x a1 2 y b1 2 r 2 ， C 2 : x a 2 2 y b2 2 R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。 （即几何法） 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 2 2 2 2 1 联立圆 C1 的方程与圆 C2 的方程得到一个二元一次方程 ① 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆 1 与圆 C2 公共弦所在的直线方程 ； C ② 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆 C1 与圆 C2 的公切线的方程； ③ 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点 向两个圆引切线 ， 得到的 切线长相等 （反之，亦成立） ★6、已知一直线与圆相交，求弦的长度 ①代数法：联立圆与直线的方程求出 交点坐标 ，利用 两点间的距离公式 ②几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）  求弦长 ★7、已知两圆相交，求公共弦的长度 ①代数法：联立两圆的方程求出 交点坐标 ；利用 两点间的距离公式 ③几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）  求弦长 8、圆系与圆系方程 圆系 :具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。 圆系方程： 2 2 2 2 1 圆系方程： x2 2 1 y+F 1+λ (x 2 2 2 2 （Ⅰ） +y +D x+E +y +D x+E y+F )=0 ①若圆 C1 与圆 C2 交于 P1、 P2 点，那么，方程（Ⅰ）代表过 P1、P2 两点的圆的方程。 ② 若圆 C 与圆 C2 交于 P 点（一个点），则方程（Ⅰ）代表过 P 点的圆的方程。 1 9、直线与圆的方程的应用 用