高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程.docxVIP

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第四章 圆与方程 知识点与习题 1、圆的定义: 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 设 M( x,y)为⊙ A 上任意一点,则圆的集合可以写作: P = { M | |MA| = r } 2、圆的方程 (1)标准方程 x a 2 y 2 r 2 ,圆心 a,b ,半径为 r; b 点 M (x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的位置关系: 当 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 ,点在圆外 ; 当 (x0 a) 2 ( y0 b)2 = r 2 ,点在圆上 当 ( x0 a)2 ( y0 b)2 r 2 ,点在圆内 ; (2)一般方程 x2 y 2 Dx Ey F 0 2 2 2 2 ( D 2 E 2 4F 0 ) (x+D/2) +(y+E/2) =(D +E -4F)/4 1 D 2 当 D 2 E 2 4F 0 时,方程表示圆,此时圆心为 D , E ,半径为 r E 2 4F 2 2 2 当 D 2 E 2 4F 0 时,表示一个点; 当 D 2 E 2 F 0 时,方程不表示任何图形。 4 (3)求圆的方程的方法: 待定系数法:先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出 a, b, r;若利用一般方程,需要求出 D, E, F; 直接法: 直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置 。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有 相离,相切,相交 三种情况: (1)设直线 l : Ax By C 0,圆 C : x a 2 y b 2 r 2 Aa Bb C , ,圆心 C a, b 到 l 的距离为 d B 2 A2 则有 d r l与 C 相离 ; d rl 与 C相切 ; d r l与 C相交 (2)过圆外一点的切线 :设点斜式方程,用 圆心到该直线距离 =半径 ,求解 k, ①若求得两个不同的解,带入所设切线的方程即可; ②若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线(此时,该直线一定为另一条切线) 2 2 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a) +(y-b) =r , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 (x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2 两圆的位置关系 判断条件 公切线 条数 外离 d>r 1+r 2 4 条 外切 d=r 1+r 2 3 条 相交 | r 1-r 2| <d<r 1+r 2 2 条 内切 d= | r 1-r 2| 1 条 内含 d< | r 1-r 2| 0 条 4、圆与圆的位置关系: 通过两圆半径的和(差) ,与圆心距( d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : x a1 2 y b1 2 r 2 , C 2 : x a 2 2 y b2 2 R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差的绝对值) ,与圆心距( d)之间的大小比较来确定。 (即几何法) 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 2 2 2 2 1 联立圆 C1 的方程与圆 C2 的方程得到一个二元一次方程 ① 若两圆相交,则该二元一次方程表示:圆 1 与圆 C2 公共弦所在的直线方程 ; C ② 若两圆相切,则该二元一次方程表示:圆 C1 与圆 C2 的公切线的方程; ③ 若两圆外离,则该二元一次方程表示的直线具有一个性质:从直线上任意一点 向两个圆引切线 , 得到的 切线长相等 (反之,亦成立) ★6、已知一直线与圆相交,求弦的长度 ①代数法:联立圆与直线的方程求出 交点坐标 ,利用 两点间的距离公式 ②几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理)  求弦长 ★7、已知两圆相交,求公共弦的长度 ①代数法:联立两圆的方程求出 交点坐标 ;利用 两点间的距离公式 ③几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理)  求弦长 8、圆系与圆系方程 圆系 :具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系。 圆系方程: 2 2 2 2 1 圆系方程: x2 2 1 y+F 1+λ (x 2 2 2 2 (Ⅰ) +y +D x+E +y +D x+E y+F )=0 ①若圆 C1 与圆 C2 交于 P1、 P2 点,那么,方程(Ⅰ)代表过 P1、P2 两点的圆的方程。 ② 若圆 C 与圆 C2 交于 P 点(一个点),则方程(Ⅰ)代表过 P 点的圆的方程。 1 9、直线与圆的方程的应用 用

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