高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一).docx

高中数学必修 5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一） 一．数列的概念与简单表示法 知识能否忆起 1． 数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 递增数列 an＋ 1an 项与项间的 其中 大小关系 递减数列 an＋ 1an * n∈ N 常数列 an＋ 1＝ an (3)数列的通项公式： 如果数列 { an} 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做 这个数列的通项公式． 2． 数列的递推公式 如果已知数列 { an} 的首项 (或前几项 )，且任一项 an 与它的前一项 an－ 1( n≥ 2)( 或前几项 ) 间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式． 1.对数列概念的理解 (1) 数列是按一定 “ 顺序 ” 排列的一列数，一个数列不仅与构成它的 “ 数 ” 有关，而且 还与这些 “数 ” 的排列顺序有关， 这有别于集合中元素的无序性． 因此， 若组成两个数列的 数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． 数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区 别． 2． 数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集 N* (或它的有限子集 {1,2,3 ， , ，n}) 的特殊函数，数列的 通项公式也就是相应的函数解析式，即 f(n)＝ an(n∈ N* ) ． 3.考点 （一）由数列的前几项求数列的通项公式 [例 1] (2012 天·津南开中学月考 )下列公式可作为数列 { an} ： 1,2,1,2,1,2， , 的通项公式 的是() A ． an＝ 1 B ． an＝ － 1 n ＋1 2 nπ n － 1 C．an＝ 2－ D ．an＝ － 1 ＋ 3 sin 2 2 n＝ 2－ nπ 可得 a1＝ 1， a2＝2， [自主解答 ] 由 a 2 a3＝ 1， a4＝ 2， , . [答案] C 由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与 n 之间的关系、 规律，可使用添项、 通分、分割等办法， 转化为一些常见数列的通项公式来求． 对 于正负符号变化，可用 (－ 1)n 或 (－ 1)n＋ 1 来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到 一般”的思想 以题试法 写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9 ， , ； (2)1， 3， 7，15， 31，, ； 2 4 8 16 32 (3)3,33,333,3 333 ， , ； 3 1 3 1 3 (4)－ 1， 2，－ 3， 4，－ 5， 6，, . 解： (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝ 2n＋ 1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 1, 2, 3, 4 2 n－ 1 2 2 2 2 ， , ，所以 an＝ 2 n . 9， 99， 999， 9999，, ，分母都是 3，而分子分别是 10－1,102－ (3)将数列各项改写为 3 33 3 1,103－ 1,104－ 1，, . 1 n 所以 an＝3(10 － 1) ． (4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为 (－ 1)n；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4， , ；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2 －1，偶数项为 2＋ 1， 所以 a ＝( － 1)n 2＋ － 1 n ，也可写为 n · n 1， n为正奇数， n an＝ 3n， n为正偶数 . （二）由 an 与 Sn 的关系求通项 an 已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用 a1＝ S1 求出 a1； (2)用 n－ 1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系，利用 an＝ Sn－ Sn－ 1(n≥ 2)便可求出当 n≥ 2 时 an 的表达式； (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥ 2 时 an 的表达式，如果符合，则可以把 数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n＝1 与 n≥2 两段来写． [例 2] 已知数列 { an} 的前 n 项和 Sn，根据下列条件分别求它们的通项an . (1)Sn ＝2n2＋ 3n； (2)Sn＝ 3n＋ 1. [自主解答 ] (1) 由题可知，当 n＝ 1 时， a1＝ S1＝ 2× 12＋ 3× 1＝ 5， n≥2 时， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ (2