高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(师).docxVIP

《数学》必会基础题型——《平面向量》 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1. 向量：既有大小又有方向的量。记作： AB 或 a 。 向量的模 ：向量的大小（或长度） ，记作： | AB |或 | a |。 单位向量 ：长度为 1 的向量。若 e是单位向量，则 | e| 1。 零向量：长度为 0 的向量。记作： 0 。【 0 方向是任意的，且与任意向量平行】 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 相等向量 ：长度和方向都相同的向量。 7. 相反向量 ：长度相等，方向相反的向量。 AB BA 。 8. 三角形法则： AB BC AC ； AB BC CD DE AE ； AB AC CB （指向被减数） 9. 平行四边形法则 ： 以 a,b 为邻边的平行四边形的两条对角线分别为 a b ， a b 。 10. 共线定理 ： a b a / /b 。当 0 时， a与b 同向；当 0 时， a与b 反向。 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12. 向量的模： 若 a ( x, y) ，则 | a | x2 y2 2 | a |2 ， | a b | (a b)2 ， a 13. 数量积与夹角公式： a b | a | |b | cos ； cos a b | a | | b | 14. 平行与垂直： a / /b a b x1 y2 x2 y1 ； a b a b 0 x1x2 y1 y2 0 题型 1. 基本概念判断正误 ： 1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是 AB CD 。 5）若 AB CD ，则 A、B、C、D 四点构成平行四边形。 6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。 7）若 a 与 b 共线， b 与 c 共线，则 a 与 c 共线。 8）若 ma mb，则 a b 。 1 （ 9）若 ma na ，则 m n 。 （ 10）若 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都不是零向量。 （ 11）若 a b | a | | b | ，则 a / /b 。 （ 12）若 | a b | | a b |，则 a b 。 题型 2. 向量的加减运算 1. 设 a 表示“向东走 8km” , b 表示“向北走 6km”, 则 | a b | 。 2. 化简 ( AB MB) (BO BC) OM 。 3. 已知 | OA| 5, |OB| 3 , 则 | AB | 的最大值和最小值分别为 、 。 4. 已知 AC为 AB与 AD 的和向量，且 AC a, BD b ，则 AB ， AD 。 5. 已知点 C 在线段 AB上，且 AC 3AB,则AC BC，AB BC 。 题型 3. 向量的数乘运算 5 1. 计算：（1） 3(a b) 2(a b) （2） 2(2a 5b 3c ) 3( 2a 3b 2c) 2. 已知 a (1, 4),b ( 3,8) ，则 3a 1 b 。 题型 4. 作图法球向量的和 2 已知向量 a,b ，如下图，请做出向量 3a 1 b和 2a 3 b 。 2 2 a b 题型 5. 根据图形由已知向量求未知向量 1. 已知在 ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量 AB，AC 表示 AD 。 2. 在平行四边形 ABCD 中，已知 AC a, BD b ，求 AB和 AD 。 题型 6. 向量的坐标运算 1. 已知 AB (4,5) ， A(2,3) ，则点 B 的坐标是 。 2. 已知 PQ ( 3, 5)， P(3,7) ，则点 Q 的坐标是 。 3. 若物体受三个力 F1 (1,2) , F2 ( 2,3) ,F3 ( 1, 4) , 则合力的坐标为 。 2 4. 已知 a ( 3,4) ， b (5,2) ，求 a b ， a b ， 3a 2b 。 5. 已知 A(1,2), B(3, 2) , 向量 a (x 2, x 3 y 2) 与 AB 相等，求 x, y 的值。 6. 已知 AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD ( 1,4) ，则 DA 。 7. 已知 O 是坐标原点， A(2, 1), B( 4,8) ，且 AB 3BC 0 ，求 OC 的坐标。 题型 7. 判断两个向量能否作为一组基底 已知 e1, e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A. e1 e2 和e1 e2 B. 3e1 2e2和 4e2 6e1 C. e1 3e2和e2