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高中数学必修二 〃空间几何体 1.1 空间几何体的结构 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如 五棱柱 ABCDE ABC D E 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P ABCDE 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台 ABCD — ABCD 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 1 圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴 ,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。2.三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： 1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； 2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x， z 轴的线长度不变； 3）.画法要写好。 2 1.3 空间几何体的表面积与体积 1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 2）特殊几何体表面积公式（ c 为底面周长， h 为高， h 为斜高， l 为母线） S直棱柱侧面积 ch S圆柱侧 2 rh S 1 ch S圆锥侧面积rl 正棱锥侧面积 2 1 S正棱台侧面积 (c1 c2 )h S圆台侧面积 (r R) l S 2 2 l S圆锥表 r r l 2 2 r r 圆台表 r rl Rl R 圆柱表 S （ 3）柱体、锥体、台体的体积公式 V柱 Sh V圆柱 S h 2r h V锥 1 S h V圆锥 1 r 2h 1 3 1 3 V台 1 (S S S S)h 2 2 V圆台 (S S S S) h (r rR R )h 3 3 4 3 R 3 ； S球面 =4 R2 球体的表面积和体积公式： V 球 = 3 〃空间点、直线、平面的位置关系 公理 1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1： A l , B l , A , B l 公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论： 一直线和直线外一点确定一平面； 两相交直线确定一平面； 两平行直线确定一平面。 公理 2 及其推论作用： ①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点 ,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是 a，记作α∩β＝ a。 符号语言： P A B A B l ,P l 作用： ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间两条直线的位置关系 位置关系 公共点的个数 共面直线 相交直线 在同一个平面内，有且仅有一个公共点 平行直线 在同一个平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 3 直线与平面的位置关系 位置关系 公共点的个数 直线在平面内