全国版2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲正弦定理和余弦定理学案.docVIP

生活的色彩就是学习 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 K12的学习需要努力专业专心坚持 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 第6讲　正弦定理和余弦定理 板块一　知识梳理·自主学习 [必备知识] 考点1　正弦定理 eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝2R， 其中2R为△ABC外接圆的直径． 变式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. 考点2　余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB； c2＝a2＋b2－2abcosC. 变式：cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)； cosC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab). sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcos 考点3　在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinAab a≥b ab a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 考点4　三角形中常用的面积公式 1．S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)． 2．S＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)absinC. 3．S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． [必会结论] 在△ABC中，常有以下结论 (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)在三角形中大边对大角，大角对大边． (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sineq \f(A＋B,2)＝coseq \f(C,2)；coseq \f(A＋B,2)＝sineq \f(C,2). (5)tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC. (6)∠A∠B?ab?sinAsinB?cosAcosB. [考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，A＞B必有sinA＞sinB.(　　) (2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．(　　) (3)在△ABC中，eq \f(a,sinA)＝eq \f(a＋b－c,sinA＋sinB－sinC).(　　) (4)在△ABC中，若acosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．[课本改编]在△ABC中，若eq \f(sinA,a)＝eq \f(cosB,b)，则B的值为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　由正弦定理知：eq \f(sinA,sinA)＝eq \f(cosB,sinB)，∴sinB＝cosB， ∴B＝45°. 3．[2018·长春质检]已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　) A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \r(3) D．2 答案　C 解析　∵a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝eq \f(1,2)，∴A＝eq \f(π,3)，又bc＝4，∴△ABC的面积为eq \f(1,2)bcsinA＝eq \r(3). 4．[课本改编]已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大内角的大小为________． 答案　120° 解析　由sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7知，三角形的三边之比a∶b∶c＝3∶5∶7，最大的角为C.由余弦定理得cosC＝－eq \f(1,2)，∴C＝120°. 5．[2017·全国卷Ⅲ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝eq \r(6)，c＝3，则A＝________. 答案　75° 解析　如图，由正弦定理，得 eq \f(3,sin60°)＝eq \f(\r(6),sinB)， ∴sinB＝eq \f(\r(2),2). 又c＞b，∴B＝45°， ∴A＝180°－60°－45°＝75°. 6．[2015·重庆高考]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－eq \f(1,4)，3sinA＝2sinB，则c＝________. 答案　4 解析　由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝eq \f(3,2)a＝3.由余弦定理的推论得cosC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)，得－eq \f(1,