2012高考数学 考前抢分训练填空题综合练 训练30 概率与统计.docVIP

PAGE 训练30　概率与统计 (推荐时间：60分钟) 1．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0. (1)若a、b是一枚骰子先后投掷两次所得到的点数，求方程有两个正实数根的概率； (2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求一元二次方程没有实数根的概率． 2.某校高三年级进行了一次数学测验，随机从甲、乙两班各抽取6名同学，所得分数的茎叶图如图所示． (1)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高，并说明理由； (2)现从甲班这6名同学中随机抽取两名同学，求他们的分数之和大于165分的概率． 3.某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后得到如图所示部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题： (1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； (3)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,100]记1分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的概率分布和数学期望． 4．在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其概率分布表为 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 p1 p2 p3 p4 (1)求q2的值； (2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)； (3)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小． 答案 1．解　(1)基本事件(a，b)共有36个，用a，b∈{1,2,3,4,5,6}，方程有两个正实数根等价于a－20,16－b20，Δ≥0，即a2，－4b4，(a－2)2＋b2≥16. 设“一元二次方程有两个正实数根”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P(A)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9). (2)试验的全部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤ 6,0≤b≤4}，其面积为S(Ω)＝16. 设“一元二次方程无实根”为事件B，则构成事件B的区域为B＝{(a，b)|2≤a≤6,0≤b≤4，(a－2)2＋b216}，其面积为S(B)＝eq \f(1,4)×π×42＝4π，故所求的概率为P(B)＝eq \f(4π,16)＝eq \f(π,4). 2．解　(1)因为乙班的成绩集中在80分，且没有低分，所以乙班的平均分比较高． (2)设从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分为事件A. 从甲班6名同学中任取两名同学，则基本事件空间中包含15个基本事件，而事件A中包含4个基本事件， 所以，P(A)＝eq \f(4,15). 故从甲班中任取两名同学，两名同学分数之和超过165分的概率为eq \f(4,15). 3．解　(1)设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，所以频率分布直方图如图所示． (2)平均分为： eq \x\to(x)＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71. (3)学生成绩在[40,70)的有0.4×60＝24人，在[70,100]的有0.6×60＝36人．并且ξ的可能取值是0,1,2. 则P(ξ＝0)＝eq \f(C\o\al(2,24),C\o\al(2,60))＝eq \f(46,295)； P(ξ＝1)＝eq \f(C\o\al(1,24)C\o\al(1,36),C\o\al(2,60))＝eq \f(144,295)； P(ξ＝2)＝eq \f(C\o\al(2,36),C\o\al(2,60))＝eq \f(105,295). 所以ξ的概率分布表为 ξ 0 1 2 P eq \f(46,295) eq \f(144,295) eq \f(105,295) E(ξ)＝0×eq \f(46,295)＋1×eq \f(144,295)＋2×eq \f(105,295)＝eq \f(354,295). 4．解　(1)由题设知，“ξ＝0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”，由对立事件和相互独立事件性质可知 P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，解得q2＝0.8. (2)根据题意 p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)Ceq \o\al(1,2)(1－q2)