双曲平面H_272_(-1)上预定高斯曲率和正全曲率的共形形变.pdfVIP

第一节 引 言 设(M，g)是一个二维黎曼流形，它的高斯曲率函数为☆。在黎曼几何中， 一个基本的问题就是如何去描述度量g的共形高斯曲率函数的集合．若令g 的共形度量可=e2u9，且季的高斯曲率函数为K(。)．则这个问题就等价于求 解下述非线性椭圆型方程．也就是说，M上的函数髟是某个共形于g的黎 曼度量的高斯曲率函数当且仅当椭圆型方程 A9缸一‰+Ke2“=0 (1．1) 在M上有一个解u．其中心和△分别是(尬9)上的高斯曲率函数和 考J．Kazdan[11，并且(11给出了上述椭圆型方程是如何导出的。对于开的曲 面，早期的研究兴趣主要集中在欧氏平面R2上，在1938年，L．V．Ahl’lars[2】 证明了任意一个负的常值函数都不是欧氏平面斧的共形高斯曲率函数．这 是关于共形高斯曲率方程的第一个不存在性定理．后来，D．H．Sattinger[3]， 是非紧致流形，则由单值化定理知，每个单连通，非紧致黎曼曲面都共形等价 于一个具有高斯曲率％=0或k=一1的完备曲面．当≈=0且(M，g)是欧 氏平面砰时，上述方程则变为： △t‘+Ke2“=0，有关这方面的工作可参考 【2，5-10】． 型方程则转化为t Agu+1+Ke2”=0 (1．2) 有关这方面的工作可参考【11—141．但是他们考虑的主要是K(z)为“几乎非 正”时的情形．如果K(卫)具有大量正值，则情况将有很大的差异．目前在这 4 方面尚无系统的研究，本文的问题就是在这个背景下提出的．具体来说，我们 的问题就是：讨论当k具有正值时，方程(1．2)的可解性． 关于上述问题目前最好的研究结果是文献[15】给出的．在那里，作者考虑K 是关于某点径向对称函数的情况，利用泛函的不动点理论，证明了下述 定理1．1t如果K($)=瓦(r(。))是日2上旋转对称的连续函数，而且存在正 数口0，使成立 ／s1+。8q5lj棼)l如+oo 6 则方程(1．2)有无穷多解，从而K是日2(一1)上的共形高斯曲率．特别地，如 果K(x)是日2上的非负旋转对称函数，则方程(1．2)有无穷多解． 基于定理1．1，胡泽军在(151中提出了如下 猜测； 日2(一1)上的每个非负HSlder连续函数都是其上的共形高斯曲率函 数． 本文着眼于上述猜测，我们将去掉定理1．1中关于k是旋转对称函数的限 制，利用泛函的临界点理论．证明了如下结果t 定理1．2：如果影(茁)是舻(一1)上具有正值点的Hi；Ider连续函数，且存在 ￡0和常数C0，使对于到固定点0的距离函数r(。)成立l丝i芝#生≤C． 则对于每一个口∈(一2，0)，都有一个俨一解“，使得共形度量蚕=驴。g的 KdA=一27ra． 高斯曲率为预定的函数K(茁)，共形度量的全曲率满足f 5 第二节 一些预备知识 首先介绍一下双曲平面H2(一1)．日2(一1)是一个完备单连通具有常数截面 磁l霉2+苕21)，对应的度量是9=警譬弊． 为建立日2(-1)上的测地极坐标系，取球坐标得tg=(∞，Y)=加， 中(r，口)∈D={(r，e)lo≤r+o。，0≤e27r)． r 为g的共形度量记z1=r，勋=口及g=蜘如id巧，歹=动如‘岫，其中 令 嗡=矿1kl(鬻+两Ogli一鬻) 表示关于9的Christo／fel符号．其中：(∥)为(趵)的逆矩阵， 则直接计算可得： 关于度量虿的Chris$offel符号有： 惑=≯(鼍+番一鬻)=r嚣+嚣％+考a一器托巧 由此得到： 砖。=筹， r：。=己。=警， 种 Ou 1 秤 口u