高考数学母题：不等式ex≥x的加强和背景.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 不等式e^x≥x+1的加强和背景 ex与二次函数大小关系的问题类型 指数不等式ex≥x+1具有高等数学背景,即ex的泰勒展开式:ex=1+x+x2+…+xn+…=1+x+x2+…+xn+xn+1,由此可对其进行加强,指数不等式ex≥x+1的加强是高考的一个命题点. [母题结构]:(Ⅰ)当x0时,求证:ex1+x+x2;(Ⅱ)当0x1时,求证:ex1+x+x2. [母题解析]:(Ⅰ)令f(x)=ex-(1+x+x2),则(x)=ex-(1+x)≥0f(x)在(0,+∞)上单调递增f(x)f(0)=0ex1+x +x2;(Ⅱ)令g(x)=1+x+x2-ex(0x1)(x)=1+2x-ex(x)=2-ex(x)在(0,ln2)上递增,在(ln2,1)上递减min(x)=min{(0),(1)}=min{0,3-e}=0(x)0g(x)在(0,1)上单调递增g(x)g(0)=0ex1+x+x2. 1.证明不等式 子题类型Ⅰ:(2010年安徽高考试题)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当aln2-1且x0时,exx2-2ax+1. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=ex-2x+2a(x)=e2-2,令(x)=0x=ln2, 由y=ex与y=2的图像知,f(x)的变化情况如表,由表知,f(x)在(-∞,ln2)上单调递减;在(ln2,+∞)上单调递增,f(x)的极小值=f(ln2)=2(1-ln2+a),f(x)无极大值; (Ⅱ)当x0,aln2-1时,2ax2(ln2-1)xx2-2ax+1x2-2(ln2-1)x+1,要证exx2-2ax+1,只需证exx2-2(ln2-1)x+1;令g(x)=ex-x2+2(ln2-1)x-1(x0)(x)=e2-2x+2(ln2-1),由(Ⅰ)知min(x)=(ln2)=0(x)≥0g(x)在(0,+∞)上单调递增g(x)g(0)=0exx2-2(ln2-1)x+1exx2-2ax+1. [点评]:当x0时,构造不等式:exax2+bx+c是高考命题的一个生长点,可以证明:①exx2;②exx2+1. 2.不等式恒成立 子题类型Ⅱ:(2010年课标高考试题)设函数f(x)=ex-1-x-ax2. (Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围. [解析]:(Ⅰ)当a=0时,由f(x)=ex-1-x(x)=ex-1,由此列表如下: 由表知,f(x)在(-∞,0)上单调递减.在(0,+∞)上单调递增; (Ⅱ)由f(x)=ex-1-x-ax2(x≥0)(x)=ex-1-2ax(x)=ex-2a;①当a≤时,(x)0(x)在[0,+∞)上单调递增(x)≥(0)=0f(x)在[0,+∞)上单调递增f(x)≥f(0)=0;②当a时,(x)在(0,ln(2a))上单调递减 (x)(0)=0f(x)在(0,ln(2a))上单调递减f(x)f(0)=0,不合题意.综上,a的取值范围是(-∞,]. [点评]:当x0时,构造不等式:exax2+bx+1恒成立,求参数的取值范围是高考命题的一个着力点,可以证明:①当a=1时,b≤-2(ln2-1);②当a=时,b≤1;③当b=1时,a≤;④当b=0时,a≤. 3.研究函数性质 子题类型Ⅲ:(2013年广东高考试题)设函数f(x)=(x-1)ex-kx2(k∈R). (Ⅰ)当k=1时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当k∈(,1]时,求函数f(x)在[0,k]上的最大值M. [解析]:(Ⅰ)由(x)=x(ex-2)f(x)的递增区间是(-∞,0)和(ln2,+∞),递减区间是(0,ln2); (Ⅱ)由(x)=x(ex-2k),令(x)=0x=ln2k;由ex≥x+1ln(x+1)≤xln2k2k-1kf(x)在(0,ln2k)上递减,在(ln2k,k)上递增M=max{f(0),f(k)}=max{-1,(k-1)ek-k3};又(k-1)ek-k3-1(k-1)ek(k-1)(k2+k+1)ekk2+k+1成立,故M=f(k)=(k-1)ek-k3; [点评]:证明并利用ex与ax2+bx+c的大小关系是解决一类问题的有力工具,构造ex与ax2+bx+c的大小关系,并进一步引伸相关问题是高考的一个命题视角. 4.子题系列: 1.(2014年福建高考试题)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1. (Ⅰ)求a的值及函数f(x)的极值; (Ⅱ)证明:当x0时,x2e