高考数学母题：“老”的数列求和“新”的求解方法.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXXXX) “老”的数列求和,“新”的求解方法 裂项求和法替代错位相减法 若{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{anbn}的前n项和Sn,有错位相减法、公式法、导数法、分组法,还有更加绝妙的裂项求和法. [母题结构]:当q≠1时,求证:(an+b)qn=(n-+)qn+1-[(n-1)-+]qn. [母题解析]:由(n-+)qn+1-[(n-1)-+]qn=[qn-q+q-(n-1)+ -]qn=(an+b)qn. 1.构造裂项式 子题类型Ⅰ:(2014年江西高考试题)已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N+)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (Ⅰ)令cn=,求数列{cn}的通项公式; (Ⅱ)若bn=3n+1,求数列{an}的前n项和Sn. [解析]:(Ⅰ)由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0-=2cn+1-cn=2cn=2n-1; (Ⅱ)由bn=3n+1,=cn=2n-1an=(2n-1)3n+1;令xn=(an+b)3n,且满足xn+1-xn=an,则(an+a+b)3n+1-(an+b)3n=(2n-1)3n+1 2an+3a+2b=6n-32a=6,3a+2b=-3a=3,b=-6xn=(3n-6)3n,且xn+1-xn=anSn=a1+a2+a3+…+an=(x2-x1)+(x3-x2)+(x4- x3)+…+(xn+1-xn)=xn+1-x1=(3n-3)3n+1+9. [点评]:构造裂项式是求和的关键:针对an=(an+b)qn,或an=(an+b)qn+k,令xn=(xn+y)qn,且满足xn+1-xn=an,由此可求x,y,并得通项xn和裂项式:an=xn+1-xn,进而可得数列{an}的前n项和Sn=xn+1-x1. 2.构造技巧 子题类型Ⅱ:(2013年山东高考试题)设等差数列{an}的前n项和为Sn.且S4=4S2,a2n=2an+1. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn.且Tn+=λ(λ为实数).令cn=b2n(n∈N+),求数列{cn}的前n项和Rn. [解析]:(Ⅰ)设{an}的公差为d,由S4=4S2,a2n=2an+14a1+6d=8a1+4d,a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1a1=1,d=2an=2n-1; (Ⅱ)由Tn+=λTn=λ-;当n≥2时,bn=Tn-Tn-1=cn=b2n=(n-1)()n-1;令xn=(an+b)()n-1,且满足xn+1-xn= cn,则a=-,b=xn=(-n+)()n-1Rn=c1+c2+…+cn=(x2-x1)+(x3-x2)+…+(xn+1-xn)=xn+1-x1=(-n-)()n+. [点评]:针对an=(an+b)qn-1,或an=(an+b)qn-k,令xn=(xn+y)qn-k,且满足xn+1-xn=an,求解较为简单. 3.方法拓展 子题类型Ⅲ:(2014年安徽高考试题引伸)数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*. (Ⅰ)证明:数列{}是等差数列; (Ⅱ)设bn=3nan(原题为bn=3n),求数列{bn}的前n项和Sn. [解析]:(Ⅰ)由a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1)=+1数列{}是首项为1,公差为1的等差数列; (Ⅱ)由=nbn=n23n;令xn=(xn2+yn+z)3n,且满足xn+1-xn=bn,则[xn2+(2x+y)n+x+y+z]3n+1-(xn2+yn+z)3n=n23n2xn2+ (6x+2y)n+(3x+3y+2z)=n22x=1,6x+2y=0,3x+3y+2z=0x=,y=-,z=xn=(n2-n+)3nSn=b1+b2+…+bn= (x2-x1)+(x3-x2)+…+(xn+1-xn)=xn+1-x1=(n2-n+)3n+1-. [点评]:裂项求和法可拓展到求数列{(an2+bn+c)qn}的前n项和Sn,甚至可用于数列{f(n)qn}(其中f(n)是n的多项式)的前n项和Sn. 4.子题系列: 1.(2004年湖南高考试题)已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项的和,a1,2a7,3a4成等差数列.(Ⅰ)证明:12S3,S6,S12-S6成等比数列; (Ⅱ)求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2. 2.(2004年重庆高考试题)设数列{an}满足:a1=2,a2=,an+2=an+1+an(n=1,2,…). (Ⅰ)令bn=an+1-an(n=1,2,