高考数学母题：基于三角形内角正切关系的高考试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 基于三角形内角正切关系的高考试题 三角形内角正切关系的应用 在斜三角形中,三内角的正切值具有其和等于其积的关系,该绝妙关系是高考命题专家的一个着眼点,即是生成一类高考试题的母题. [母题结构]:在斜△ABC中,tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. [母题解析]:在斜△ABC中,由A+B+C=πtan(A+B)=tan(π-C)=-tanCtanA+tanB=-tanC+ tanAtanBtanCtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 1.求正切值 子题类型Ⅰ:(2012年江苏高考试题)在△ABC中,已知=3. (Ⅰ)求证:tanB=3tanA; (Ⅱ)若cosC=,求A的值. [解析]:(Ⅰ)由=3bccosA=3accosBbcosA=3acosBsinBcosA=3sinAcosBtanB=3tanA; (Ⅱ)由cosC=sinC=tanC=2;又由A+B+C=πtan(A+B)=tan(π-C)=-tanCtanA+tanB+ tanC=tanAtanBtanCtanA+3tanA+2=6tan2AtanA=1或-(舍去)A=. [点评]:利用基本关系:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,易得:在△ABC中,若tanA=ktanB,则tanC=. 2.等价结论 子题类型Ⅱ:(2016年江苏高考试题)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是 . [解析]:由sinA=2sinBsinCsin(B+C)=2sinBsinCsinBcosC+cosBsinC=2sinBsinCtanB+tanC=2tanBtanC;又由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCtanA+2tanBtanC=tanAtanBtanCtanBtanC=(tanA2)tanAtanBtanC= =(tanA-2)++4≥8,当且仅当tanA-2=,即tanA=4时,等号成立tanAtanBtanC的最小值是8. [点评]:在△ABC中,sinC=ksinAsinBsin(A+B)=ksinAsinBsinAcosB+cosAsinB=ksinAsinBtanA+tanB= ktanAtanB;利用基本关系:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可得:tanAtanB=. 3.整数结论 子题类型Ⅲ:(2014年全国高中数学联赛天津预赛试题)如果△ABC中,tanA,tanB,tanC都是整数,且ABC,则以下说法错误的是( ) (A)A800 (B)B600 (C)C500 (D)A650 [解析]:由ABCB,C都是锐角tanB,tanC0tanA=?tan(B+C)=0tanC≥1,tanB≥2,tanA≥3 =tanC≥1(tanA?1)(tanB?1)≤2tanA=3,tanB=2,tanC=1tanBB600(B)错误.故选(B). [点评]:由本题可得:在△ABC中,若tanA,tanB,tanC都是整数,且ABC,则tanA=3,tanB=2,tanC=1. 4.子题系列: 1.(2007年全国高中数学联赛湖南初赛试题)在△ABC中,tanA+tanB+=tanAtanB,sinAcosA=,则该三角形是( ) (A)等边三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等边三角形或直角三角形 2.(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)在锐角三角形ABC中,设tanA,tanB,tanC成等差数列,且函数f(x)满足 f(cos2C)=cos(B+C-A),则f(x)的解析式为 3.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)在△ABC中,已知∠BAC=450.若AD⊥BC于点D,且BD=2,CD=3,则△ABC的面积为 . 4.(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知△ABC中,lgtanA+lgtanC=2lgtanB,则角B的范围为 . 5.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)一个三角形的最短边长度是1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为 . 6.(2009年南京大学数学基地班自主招生数学试题)找出所有满足tanA+tanB+tanC≤[tanA]+[tanB]+[ta