高考数学母题：基于回归分析相关系数的高考试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 基于回归分析相关系数的高考试题 相关系数问题的基本类型 统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱,当xi不全为零,yi也不全为零时,则两个变量的相关系数的计算公式是:r==,r就叫做变量y与x的相关系数(简称相关系数);其中,r∈[-1,1],且:①当r为正数时,表示变量x,y正相关;当r为负数时,表示两个变量x,y负相关;②当r∈[-1,-0.75]时,则负相关强;当r∈[0.75,1]时,则正相关强;③当r∈(-0.75,-0.30]或r∈[0.30,0.75)时,则相关性一般;当r∈[-0.25,0.25]时,则相关性很弱. [母题结构]:己知两个变量x与y的相关系数为r,(Ⅰ)|r|=1的充分必要条件是y=kx+m; (Ⅱ)若x与y线性相关,r与同号. [母题解析]:(Ⅰ)只证必要性,由yi=kxi+m=k+myi-=k(xi-)r=== |r|=1;(Ⅱ)当x与y线性相关时,=r与同号. 1.特殊的相关系数 子题类型Ⅰ:(2012年课标高考试题)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) (A)-1 (B)0 (C) (D)1 [解析]:由母题知,样本相关系数r=1.故选(D). [点评]:若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)都在直线y=kx+m上,则:①当k≥0时,样本相关系数r=1;②当k0时,样本相关系数r=-1. 2.正、负相关判定 子题类型Ⅱ:(2015年湖北高考试题)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是( )(A)x与y负相关,x与z负相关 (B)x与y正相关,x与z正相关 (C)x与y正相关,x与z负相关 (D)x与y负相关,x与z正相关 [解析]:由y=-0.1x+1x与y负相关;由变量y与z正相关,可设z=by+a(b0)z=-0.1bx-0.1a+1x与z正相关.故选(C). [点评]:当x与y线性相关时,r与同号,所以,x与y正相关0;x与y负相关0;由此,也可利用散点图,判断变量x与y相关性的正负性. 3.相关系数的应用 子题类型Ⅲ:(2011年广东高考试题)某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. [解析]:由题知,父与子的身高对应的数据关系如表:则=173,=176=1 a=-b=3线性回归直线:y=x+3预测他孙子的身高=182+3=185cm. [点评]:本题假定“儿子的身高与父亲的身高具有线性相关”,那么,这个假定是否成立？我们来计算样本的相关系数r= ==0.5,其相关性一般,或不具有相关性,由此可见,该题是一道“病题”. 4.子题系列: 1.(2009年宁夏、海南高考试题)对变量x,y有观测数据理(xi,yi)(i=1,2,…,10),得 散点图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图2.由这两个散点图 可以判断( ) (A)变量x与y正相关,u与v正相关 (B)变量x与y正相关,u与v负相关 (C)变量x与y负相关,u与v正相关 (D)变量x与y负相关,u与v负相关 2.(2011年江西高考试题)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5),变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量U与V之间的线性相关系数,则( ) (A)r2r10 (B)0r2r1 (C)r20r1 (D)r2=r1 3.(2013年湖北高考试题)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到