高考数学母题：导数分析试题的“单调情结”.docVIP

第18讲:导数分析试题的“单调情结” 95 第18讲:导数分析试题的“单调情结” 揭秘情结 课标与课程相比,课标删去了课程中的函数极限,弱化了导数的定义、强化了导数的几何意义和导数的应用.纵向研究分析,我们可以惊喜的发现:安徽卷中的导数分析试题以导数的应用为着力点,以单调问题为中心,可以说“单调”是命制安徽导数分析试题的一个割舍不去的“情结”. 情结渊源 1.文科试题: 1.(2009年安徽高考试题第六题)(文)已知函数f(x)=x-+1-alnx,a0. (Ⅰ)讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设a=3,求f(x)在区间[1,e2]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数. [解析]:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),(x)=1+-=(x2-ax+2); ①当(-a)2-8≤0,即0a≤2时,(x)=[(x-)2+]≥0f(x)在(0,+∞)上单调递增; x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞) (x) + 0 - 0 + f(x) 递增 极大 递减 极小 递增 ②当(-a)2-80,即a2时, (x)=(x-x1)(x-x2),其中 x1=(a-),x2=(a+), f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增;在(x1,x2)上单调递减. (Ⅱ)当a=3时,x1=1,x2=2f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,e2)上单调递增在区间[1,e2]上,fmin(x)=f(2)=2-3ln2,fmax(x) =max{f(1),f(e2)}=e2-2e-2-5. 2.(2010年安徽高考试题第五题)(文)设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0x2π,求函数f(x)的单调区间与极值. x (0,π) π (π,) (,2π) (x) + 0 - 0 + f(x) 递增 极大(π+2) 递减 极小() 递增 [解析]:(x)=cosx+sinx+1=sin(x+)+1,令(x)=0x=π,π,由y=sin(x+)与y=-的图像知,f(x)的变化情况如下表: f(x)在(0,π)和(π,2π)上单调 递增;在(π,π)上单调递减,f(x) 的极小值=f(π)=π,极大值= f(π)=π+2. 3.(2011年安徽高考试题第三题)(文)设f(x)=,其中a为正实数. (Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值点; 96 第18讲:导数分析试题的“单调情结” (Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. [解析]:(Ⅰ)(x)=(x2-2x+).(I)当a=时,(x)=(x-)(x-),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,) (,) (,+∞) (x) + 0 - 0 + f(x) 递增 极大 递减 极小 递增 x=是f(x)的极大值点,x=是f(x)的 极小值点; (Ⅱ)f(x)为R上的单调函数当x∈R时, ①(x)≤0恒成立x2-2x+≤0恒成立 a∈;②(x)≥0恒成立x2-2x+≥0恒成立(-2)2-4×≤0a∈(0,1].综上,a的取值范围是(0,1]. 4.(2012年安徽高考试题第二题)(文)设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a0). (Ⅰ)求f(x)的最小值; (Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=ax++b(x)=a-=(x+)(x-)f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增f(x)的最小值=f(x)的极小值=f()=2+b; (Ⅱ)由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x(1)=a-=a=2,-(舍去)a=2f(x)=2x++b;又由f(1)=2++b=b=-1.所以,a=2,b=-1. 5.(2013年安徽高考试题第五题)(文)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2,其中a0,区间I={x|f(x)0}. (Ⅰ)求I的长度(注:区间(α,β)的长度定义为β-α); (Ⅱ)给定常数k∈(0,1),当1-k≤a≤1+k时,求I长度的最小值. [解析]:(Ⅰ)由f(x)0ax-(1+a2)x20x(x-)00xI=(0,)I的长度d(a)=; (Ⅱ)由d(a)=(a)=-(a-1)d(a)在(1-k,1)上单调递增,在(1,1+k)上单调递减d(a)的最小值必在x=1-k,或x=1+k处取得,又因=1d(1-k)d(1+k)d(a)的最小值=d(1-k)=. 2.理科试题: 1.(2009年安徽高考试题第四题)(理)已知函数f(x)=x