高考数学母题：垂直定理由平面到空间.docVIP

2017年第1期 中国高考母题 11 [中国高考数学母题](本期第06号) 垂直定理.由平面到空间 垂直无论是在平面上,还是在立体內都是研究的中心,类似于平面上关于垂直的勾股定理,存在从平面到空间都成立的垂直定理,这是一个关于垂直的神奇定理. [母题结构]:己知A,B,C,D是n维欧氏空间内的点,则AC⊥BD的充要条件是AB2+CD2=AD2+BC2. [母题解析]:由AB2+CD2=AD2+BC2||2+||2=||2+||22+2=2+22+(-)2=2+ (-)2=(-)=0=0AC⊥BD. 1.平面形式 子题类型Ⅰ:(2010年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题)在ΔABC中,中线AD与中线 BE垂直相交于G,则sinC的最大值是( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:在四边形ABDE中,由AD⊥BEAB2+DE2=AE2+BD2c2+(c)2=(b)2+(a)2a2+b2=5c2cosC== ≥=sinC≤.故选(B). [点评]:垂直定理的平面形式:四边形的对角线互相垂直的充要条件是四边形对边的平方和相等;在平面上,利用垂直定理的关键是构造以两垂直线段的端点为顶点的四边形. 2.解析形式 子题类型Ⅱ:(2014年江西高考试题)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C 相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(0为坐标原点). (Ⅰ)证明:动点D在定直线上;(Ⅱ)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y=2相交于点N1,与(Ⅰ) 中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值. [解析]:(Ⅰ)设A(2a,a2),B(2b,b2),则直线BD:x=2a,直线AO:bx-2y=0yD=ab;由A、M、B三点共线ab=-2动点D在定直线y=-2上(x≠0); (Ⅱ)设抛物线C上的任意一点P(2t,t2)(t≠0),由x2=4yx=2|x=2t=t抛物线C在点P处的切线l:y-t2=t(x-2t) N1(t+,2),N2(t-,-2)|MN2|2-|MN1|2=(t-)2+(-2-2)2-(t+)2=8为定值. [点评]:垂直定理的轨迹形式:到两定点距离的平方差为定值的动点轨迹是与两定点连线垂直的直线;垂直定理轨迹形式就是根轴定理:过动点向两圆引等长的切线段,则动点的轨迹是一条直线,当两圆相交时,该直线是两圆的公共弦. 3.空间形式 子题类型Ⅲ:(2005年全国高中数学联赛试题)空间四点A、B、C、D满足||=3,||=7,||=11,||=9,则 的取值( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个 [解析]:由||=3,||=7,||=11,||=9||2+||2=||2+||2=0.故选(A). [点评]:垂直定理的空间形式:四面体的一组对棱互相垂直的充要条件是另外两组对棱的平方和相等;在空间内,利用垂直定理的关键是构造以两异面垂直线段的端点为顶点的四面体. 4.子题系列: 1.(《选修7-7》(人教A版.P4例1)已知ΔABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,探究BE与CF的位置关系. 2.(2008年全国初中数学联赛山东初赛试题)在△ABC中,已知∠BAC=450.若AD⊥BC于点D,且BD=3,CD=2,则△ABC的面积为. 3.(2007年四川高考试题)已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O1的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向 ⊙O和⊙O1所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是 . 12 中国高考母题 2017年第1期 4.(2010年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆+=1的左、右顶点 为A、B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中 m0,y10,y20. (Ⅰ)设动点P满足PF2-PB2=4,求点P的轨迹; (Ⅱ)设x1=2,x2=,求点T的坐标; (Ⅲ)设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关). (1995年俄罗斯数学奥林匹克试题)如图,在四边形ABCD中,E和F是CD和BC上的点,AB=AD, DF⊥AE,AB⊥BC,