高考数学母题：切点弦方程.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-51):切点弦方程(469) 1201 切点弦方程 [母题]Ⅰ(17-51):(2011年江西高考试题)若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点(1,)做圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是 . [解析]:设A(x1,y1),B(x2,y2),则圆x2+y2=1在点A,B处的切线方程分别为:x1x+y1y=1,x2x+y2y=1;由两切线均过点(1,) x1+y1=1,x2+y2=1直线AB:x+y=1,与x,y轴分别交于点(1,0),(0,2)c=1,b=2a2=5椭圆:+=1. [点评]:关于切点弦:①切点弦的定义:过一点引曲线的两条切线,两切点所在直线叫做曲线的切点弦;②切点弦的方程:过点P(x0,y0)作曲线G:Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0的两条切线,切点是A,B,则切点弦AB:Ax0x+Cy0y+D+E+F=0. [子题](1):(2013年山东高考试题)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ) (A)2x+y-3=0 (B)2x-y-3=0 (C)4x-y-3=0 (D)4x+y-3=0 [解析]:由圆(x-1)2+y2=1x2+y2-2x=0切点弦AB:3x+y-(x+3)=02x+y-3=0.故选(A). 注:过点P(x0,y0)作圆:(x-a)2+(y-b)2=r2的两条切线,切点是A,B,则切点弦AB:(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. [子题](2):(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)M是抛物线y2=2px(p0)的准线上任意点,过M点作抛物线的切线l1、l2,切点分别为A、B(A在x轴上方). (Ⅰ)证明:直线AB过定点; (Ⅱ)设AB的中点为P,求MP的最小值. [解析]:(Ⅰ)设P(-,t),则切点弦AB:ty=p(x-)直线AB过定点F(,0); (Ⅱ)设AB的中点P(a,b),则中点弦AB:by-p(x+a)=b2-2papx-by+b2-pa=0与切点弦AB:ty=p(x-)比较得: b=t,b2-pa=- a=+|MP|=a+=+p≥p. 注:过定直线l上一点P作圆锥曲线的切线,切点是A,B,则切点弦AB必过定点. [子题](3):(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)从直线l:+=1上任意一点P向椭圆C:+=1引切线PA,PB,切点分别为A、B,试求线段AB中点M的轨迹方程. [解析]:设P(a,b),M(s,t),则+=1,一方面切点弦AB:+=1,另一方面中点弦AB:+=+= ,=+=1+=+M的轨迹方程:+=+. 注:圆锥曲线的中点弦方程、切线方程、切点弦方程,从代数形式上,具有统一性,掌握其联系与区别便于记忆掌握. [子题系列]: 1.(2014年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)若过点P(1,3)作圆x2+y2=9的切线,则两切点所在的直线方程为 . 2.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从点A(-1,)向圆4x2+4y2–8x+4y-11=0作切线,则过切点的弦的方程是 . 1202 [母题]Ⅰ(17-51):切点弦方程(469) 3.(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从点(4,3)向圆(x-2)2+(y-1)2=1作切线,则过两个切点的直线方程是 . 4.(2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)从直线l:+=1上的任意一点P作圆O:x2+y2=8的两条切线,切点为A和B,则弦AB长度的最小值为__________. 5.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)P为椭圆=1在第一象限上的动点,过点P引圆x2+y2=9的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于点M、N,则S△MON的最小值为 . 6.(200