高考数学母题：切线安徽高考命题的风景线.docVIP

第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 105 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 直线与二次曲线相切的基本结论有: 抛物线:①直线mx+ny+t=0与抛物线y2=2px相切n2p=2mt;直线mx+ny+t=0与抛物线x2=2py相切m2p=2nt;②斜率为k的抛物线y2=2px的切线方程为:y=kx+;斜率为k的抛物线x2=2py的切线方程为:y=kx-pk2;③如果点P(x0,y0)在抛物线C:y2=2px上,则抛物线C在P处的切线方程为:y0y=p(x+x0);如果点P(x0,y0)在抛物线C:x2=2py上,则抛物线C在P处的切线方程为:x0x=p(y+y0); 椭圆与双曲线:①直线mx+ny+t=0与二次曲线=1相切m2a2n2b2=t2;②斜率为k的椭圆=1的切线方程为:y=kx;斜率为k的双曲线=1的切线方程为:y=kx;③如果点P(x0,y0)在二次曲线C:=1上,则二次曲线C在P处的切线方程为:=1; 例1:圆的切线. [始源问题]:(2013年全国100所名校高考模拟试题)如图, y 已知椭圆C:+=1(ab0)的长轴为AB,过点B的直线l M 与x轴垂直,直线(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0所经过的定点恰 Q 好是椭圆C的一个顶点,且椭圆的离心率e=. P N (Ⅰ)求椭圆C的方程; A O H B x (Ⅱ)设P是椭圆C上异于A、B的任意一点,PH⊥x轴,H为垂足, 延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线l于点M,N为 MB的中点.试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系. [解析]:(Ⅰ)直线(2-k)x-(1+2k)y+(1+2k)=0(2x-y+1)-k(x+2y-2)=0经过的定点(0,1) b=1;又由e==a=2椭圆C:+y2=1; (Ⅱ)设P(x0,y0),则+y02=1;由|QH|=2|PH|Q(x0,2y0)|OQ|==2点Q在以AB为直径的圆O上;由直线AQ: y=(x+2)M(2,)N(2,)=(x0-2,2y0-)=(x0-2,)=x0(x0-2)+=x0=0⊥直线QN与以AB为直径的圆O相切. 该题中HP=PQ==,由此可变式为: [原创问题]:己知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)设曲线C与x轴交于点A,PH⊥x轴于点H,x轴上的点T满足=2,点Q满足:=,试判断直线QT与圆O:x2+y2=4的位置关系. 106 第13讲:切线.安徽高考命题的风景线 [解析]:(Ⅰ)设圆M、圆N、圆P的半径分别为r1、r2、r,则r1=1,r2=3,由动圆P与圆M外切并且与圆N内切|PM|=r+r1,|PN| =r2-r|PM|+|PN|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4,由椭圆定义知,曲线C是以M(-1,0)、N(1,0)为左、右焦点,长半轴长为2的椭圆:+=1(x≠-2); (Ⅱ)由+=1(x≠-2)A(2,0);设P(x0,y0),则+=1,H(x0,0);由=2T(,0);由= Q(x0,y0)|OQ|==2点Q在圆O上;由=(x0-,y0)=x0(x0-)+(y0)2=x02-4 +y02=0⊥直线QN与圆O相切. 例2:圆的切线. [始源问题]:(2009年山东高考试题)设椭圆E:=1(a,b0)过M(2,)、N(,1)两点,O为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B,且⊥？若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析]:(Ⅰ)将两点M(2,)、N(,1)的坐标代入椭圆E的方程=1得:.所以,椭圆E的方程为=1; (Ⅱ)假设满足题意的圆存在,且设半径为R,斜率存在时,切线方程为y=kx+m,A(x1,y1)、B(x2,y2).由(2k2+ 1