数理经济学03-微分方程与差分方程.docVIP

微分方程与差分方程简介 本章简单地介绍微分方程、差分方程的一些基本概念和稳定性概念。 §2.1 微分方程的基本概念 微分方程的定义及其阶 在许多实际和理论问题中，需要寻找变量之间的函数关系。一般来说，变量之间的函数关系很难直接求出，然而，根据以知条件，往往可以得到一个自变量、未知函数与它的导数之间的关系式。因此，希望利用以知的函数与它的导数之间的关系式，去求出这个函数本身。为此，给出下列描述性的定义： 定义 含有未知函数和未知函数各阶导数的等式称为微分方程。在该等式中，若未知函数及其导数是一元函数，就称该微分方程是常微分方程。若未知函数是多元函数，且该等式中所含的导数是偏导数，则称该微分方程是偏微分方程。 本章仅介绍常微分方程。在下面，“微分方程”一词，均是指常微分方程。 微分方程的一般形式是 SKIPIF 1 0 其中， SKIPIF 1 0 是自变量， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的函数， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 对 SKIPIF 1 0 的各阶导数。 微分方程的解、通解、特解和初始条件 若函数（可以是显函数，也可以是隐函数） SKIPIF 1 0 满足该微分方程，即将 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 代入到微分方程 SKIPIF 1 0 ，能使等式成为恒等式，则称这个函数 SKIPIF 1 0 是这个微分方程的解。 例 假设曲线在点 SKIPIF 1 0 处的切线斜率是 SKIPIF 1 0 。求满足这一条件的所有曲线。 解：根据导数的几何意义，有 SKIPIF 1 0 这是一个一阶微分方程。两边同时积分，有 SKIPIF 1 0 所以，该微分方程的解是 SKIPIF 1 0 由于一个函数对应平面上的一条曲线，故也常常称微分方程 SKIPIF 1 0 的解 SKIPIF 1 0 是该微分方程的积分曲线。上例的积分曲线如图2.1所示。从图中可以看到，该微分方程有无穷多条积分曲线，并且，所有的积分曲线都可以通过其中的某一条积分曲线沿纵轴平行移动而得到。一般来说，若一个微分方程有解，则它有无穷多个解，且这些解的图象互相平行。 从上例可以看出微分方程有无穷多个解的原因。从本质上讲，求一个微分方程的解，就是要设法进行积分； SKIPIF 1 0 阶微分方程就要进行 SKIPIF 1 0 次积分（当然，根据微分方程的不同形式，在进行具体求解时，可能不需要直接作积分运算）。积分一次就会出现一个常数。因此， SKIPIF 1 0 阶微分方程的一般解应含有 SKIPIF 1 0 个任意常数，故而微分方程有无穷多解。为此，我们给出下列定义： 定义 若一个 SKIPIF 1 0 阶微分方程的解含有 SKIPIF 1 0 个独立的任意常数，就称这个解是该微分方程的通解。 这样， SKIPIF 1 0 阶微分方程通解的一般形式是 SKIPIF 1 0 在这里，以例子的方式，直观地解释“独立的”一词的含义。 例如，函数 SKIPIF 1 0 含有两个独立的任意常数。在函数 SKIPIF 1 0 中，虽然形式上有两个常数，然而，该函数可以合并为 SKIPIF 1 0 。因此，该函数只含有一个独立的任意常数。又如， SKIPIF 1 0 等价于 SKIPIF 1 0 ，所以，该隐函数仅含有两个独立任意常数。类似的，函数 SKIPIF 1 0 也只含有一个独立的任意常数。一般来说，不能通过合并同类项、变量代换等变换将其合并的常数才是独立的。 在微分方程的通解中，若指定其中的任意常数为一组固定的数值，则所得到的解称为该微分方程的一个特解。例如， SKIPIF 1 0 就是在上例中，令 SKIPIF 1 0 的特解。 在许多问题中，通常需要去求微分方程的一个满足某种条件的特解。对于不同的条件，求对应特解的方法不同，一般方法是首先求出微分方程的通解，再根据所给的条件，去设法确定通解中的常数的适当值。 对于一个 SKIPIF 1 0 阶微分方程，求其某个特解的最常见的条件是给出在 SKIPIF 1 0 处，未知函数在该点的函数值以及直到 SKIPIF 1 0