高等数学无穷级数3.pptVIP

1. 代数运算性质 (1) 加减法 (其中 三、幂级数的性质及幂级数的和函数 的收敛半径为R1和R2 , (2) 乘法 (其中 (3) 除法 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) 2.和函数的分析运算性质 可逐项积分. 则其 在端点收敛, 则 在端点单侧连续. 则其 (收敛半径不变) (收敛半径不变) 逐项求导任意次. 并可 则 (3) 幂级数 的收敛半径为R (R 0), 解 (1) 求收敛区间 发散 收敛 故级数的求收敛区间为 例 容易求和函数的幂级数是几何级数, 分析 设法 用逐项求导或逐项积分的方法把通项变形. 由牛–莱公式得 利用性质,逐项求导 (2) 求和函数s(x) 例 求幂级数 解 (1)求收敛区间 发散 收敛 故级数的收敛区间 的和函数. (2)求和函数s(x) 有 逐项求导 设所求和函数为 即 由牛 – 莱公式得: 因此, 当x = 0时,显然有 即 求 的收敛域与和函数. 提示: 解 令 收敛域为 当 时, 收敛, 当 时, 收敛, 例 又设 (逐项求导即可得) 和函数为 (逐项求导即可得) 设 设 解 收敛区间为 (1)求收敛区间 (2)求和函数s(x) 利用性质2,逐项积分 设和函数 例 即 又设 则 利用性质2,逐项积分 (3)求函数s(x)在 的值 解 例 数项级数间接求和 积分 得 逐项求导 再对和函数积分(求导),求出原级数的和函数. 求和函数的一般过程是: 首先找收敛半径, 再利用在收敛区间上幂级数和函数的性质可 逐项求导(积分), 求得新的幂级数和函数; 常用已知和函数的幂级数 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 函数项级数的概念 掌握幂级数的和函数的规律 四、小结 收敛半径R 代数、分析运算性质 收敛点、收敛域、和函数 的和函数 解 易求出幂级数的收敛半径为 1, 时级数发散, 例 例 解