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例谈二次函数综合题的解题策略 □ 孙朝仁 朱松林 二次函数既是中考的重点内容,也是热点问题.而二次函数综合题在各级各类考试中都属于难度较大的问题，要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固，而且还要善于将二次函数和其他的有关知识（方程、不等式以及几何等知识）“攀亲”，搞好关系，这样问题的综合层次和要求都比较高 ．解决这类问题的关键就是要“沉得住气”，认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题 ．下面略举几例，谈谈二次函数综合题的常见的解题策略 ． ___ _ _ _ - 2 4 2 y x O 3 2 图1 例1 已知函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的关系式； （2）画出它的图象； （3）根据图象指出：当x取何值时，y≥2？ 分析 首先，利用待定系数法，可以求出b的值， 从而获得函数表达式；其次，根据函数关系式不难知“形”—— 用描特殊点法画出函数图象；第三，借助函数图象，由“形”想 “数”，要“确定y≥2时，x的取值范围”就是要求位于“直线 y=2上方”图象的自变量取值范围． 解 （1）根据题意，得 2＝9＋3b＋2， 解得 b＝－3． ∴函数关系式为y＝x2－3x＋2． （2）易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（2，0），与y轴的交点坐标为（0，2），对称轴为 ．函数y＝x2－3x＋2的图象如图1所示． （3）根据图象可得，当y＝2时，对应的x的值为0和3 ．因此，当x≤0或x≥3时，y≥2． 评析 充分利用函数图象的直观性，分析解决问题是体现“数形结合”思想一个重要方面．本题还可以直接指出“当x取何值时，y≤2？”以及根据图象写出“不等式x2－3x＋2≤0的解集”，这两个问题，请同学们自行写出. 二、函数与方程“攀亲”，由方程求函数 例2 如图2，一元二次方程的两根，（＜）是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）． (1)求此二次函数的解析式； (2)设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标； (3)在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标． xyA（ x y A（3，6） Q C O B P 解 (1)解方程，得=-3，=1. 抛物线与x轴的两个交点坐标为：C（-3，0），B（1，0）. 图2将 A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得 图2 解这个方程组，得 抛物线解析式为. (2)由，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1. 设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得 解这个方程组，得 直线AC的函数关系式为y=x+3. 由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点， 故解方程组得 点Q坐标为（-1，2）. (3)作A点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点. 设直线的函数关系式为y=kx+b. ∴ 解这个方程组，得 直线的函数关系式为y=-2x. 令x=0，则y=0.点M的坐标为（0，0）. 评析 求两个函数图象的交点问题，其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题.点与函数图象的关系是，若点的坐标满足函数关系式,则点在函数图象上,反之也成立.本题中的第（3）问改为“若在y轴上有一动点N，当NQ+NA取得最小值时，求N点的坐标”，请同学们做做看. 三、函数与几何“联姻”，由图形性质建立函数关系式 例3 如图3，在锐角中，，于图3点，且，点为边上的任意一点，过点作，交于点．设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）． 图3 （1）分别求出当与时，与的函数关系式； （2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？ 分析 本题所求的“y与x之间的函数关系式”分两种情况：一是点A关于DE的对称点在内，一是点A关于DE的对称点在外.对于第一种情况，其重叠部分就是的面积（也即的面积），此时只要依据相似三角形的性质把高AF，底边DE用含x的关系式表示出来即可；而第二种情况，其重叠部分是一个梯形，求梯形EDPQ的面积即可.最后，要求出重叠部分面积的最大值，同样也需要分两种情况，把每种情况下的最大面积都求出来，然后进行比较. 图4F解 （1）①当时，由折叠得到的落在内部，如图4（1），重叠部分为. 图4 F , . . .. 即.又, ∴. ②当时，由折叠得到的有一部分落在外部，如图4(2)，重叠部分为梯形. , ∴. 又, . . . =. （2）当时，的最大值； 当时，由可知，当时，的最大值. ，当时，有最大值． 评析