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§7.5 用岭回归选择变量 §7.5 用岭回归选择变量 §7.5 用岭回归选择变量 例7.4 用岭回归方法处理民航客运数据的多重共线性问题。 SPSS软件的岭回归功能要用语法命令实现，菜单对话框中没有此功能。运行岭回归程序的步骤如下： 第7章 岭回归 7.1 岭回归估计的定义 7.2 岭回归估计的性质 7.3 岭迹分析 7.4 岭参数k的选择 7.5 用岭回归选择变量 7.6 本章小结与评注 §7.1 岭回归估计的定义 一、普通最小二乘估计带来的问题 当自变量间存在复共线性时，回归系数估计的方差就很大， 估计值就很不稳定，下面进一步用一个模拟的例子来说明这一点。 例7.1 假设已知x1，x2与y的关系服从线性回归模型 y=10+2x1+3x2+ε §7.1 岭回归估计的定义 §7.1 岭回归估计的定义 §7.1 岭回归估计的定义 二、岭回归的定义 岭回归(Ridge Regression,简记为RR)提出的想法是很自然的。 当自变量间存在复共线性时，｜X′X｜≈0， 我们设想给X′X加上一个正常数矩阵kI，（k＞0)， 那么X′X+kI接近奇异的程度就会比X′X接近奇异的程度小得多。 考虑到变量的量纲问题，我们先对数据做标准化，为了记号方便，标准化后的设计阵仍然用X表示 §7.1 岭回归估计的定义 我们称 为β的岭回归估计，其中k称为岭参数。 由于假设X已经标准化，所以X′X就是自变量样本相关阵，（7.2）式计算的实际是标准化岭回归估计。 （7.2）式中因变量观测向量y可以经过标准化也可以未经标准化。 显然，岭回归做为β的估计应比最小二乘估计稳定， 当k=0时的岭回归估计就是普通的最小二乘估计。 （7.2） §7.1 岭回归估计的定义 表7.2 §7.1 岭回归估计的定义 §7.2 岭回归估计的性质 在本节岭回归估计的性质的讨论中，假定（7.2）式中因变量观测向量y未经标准化。 §7.2 岭回归估计的性质 §7.2 岭回归估计的性质 §7.2 岭回归估计的性质 §7.3 岭迹分析 §7.3 岭迹分析 §7.4 岭参数k的选择 一、岭迹法 岭迹法选择k值的一般原则是： （1）各回归系数的岭估计基本稳定； （2）用最小二乘估计时符号不合理的回归系数，其岭估计的符号变得合理； （3）回归系数没有不合乎经济意义的绝对值； （4）残差平方和增大不太多。 §7.4 岭参数k的选择 §7.4 岭参数k的选择 二、方差扩大因子法 §7.4 岭参数k的选择 三、由残差平方和来确定k值 岭估计在减小均方误差的同时增大了残差平方和，我们希望岭回归的残差平方和SSE（k）的增加幅度控制在一定的限度以内，可以给定一个大于1的c值，要求： SSE（k）＜cSSE （7.3） 寻找使（7.3）式成立的最大的k值。在后边的例子中我们将会看到对该方法的应用。 §7.5 用岭回归选择变量 岭回归选择变量的原则： （1）在岭回归中设计矩阵X已经中心化和标准化了，这样可以直接比较标准化岭回归系数的大小。可以剔除掉标准化岭回归系数比较稳定且绝对值很小的自变量。 （2）随着k的增加，回归系数不稳定，震动趋于零的自变量也可以剔除。 （3）如果依照上述去掉变量的原则，有若干个回归系数不稳定，究竟去掉几个，去掉哪几个，这并无一般原则可循，这需根据去掉某个变量后重新进行岭回归分析的效果来确定。 §7.5 用岭回归选择变量 例7.2 空气污染问题。Mcdonald和Schwing在参考文献［18］ 中曾研究死亡率与空气污染、气候以及社会经济状况等因素 的关系。考虑了15个解释变量，收集了60组样本数据。 x1—Average annual precipitation in inches 平均年降雨量 x2—Average January temperature in degrees F 1月份平均气温 x3—Same for July 7月份平均气温 x4—Percent of 1960 SMSA population aged 65 or older 年龄65岁以上的人口占总人口的百分比 x5—Average household size 每家人口数 x6—Median school years completed by those over 22 年龄在22岁以上的人受教育年限的中位数 §7.5 用岭回归选择变量 x7—Percent of housin