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欢迎加入高中数学竞赛及高考群：766755640 2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生 （三校联招） 试题 数学部分 1． （仅文科做）0 ，求证：sin tan ． 2 2． 为边长为 的正五边形边上的点．证明： 最长为 5 1 ． （25分） AB 1 AB 2 2 x 3． 为 上在 轴两侧的点，求过 的切线与 轴围成面积的最小值．（25 AB y 1x y AB 分） 4 ．向量 OA 与 OB 已知夹角 ， OA 1 ， OB 2 ，OP (1t)OA ，OQ tOB ， 1 0≤t ≤1 ．PQ 在 时取得最小值，问当t 0 t 时，夹角的取值范围． （25分） 0 0 5 5． （仅理科做）存不存在0 x ，使得sinx, cosx, tanx, cotx 为等差数列． （25 2 分） 1 欢迎加入高中数学竞赛及高考群：766755640 2010北京大学 香港大学 北京航空航天大学 自主招生 （三校联招） 试题 数学部分解析 1． （仅文科做）0 ，求证：sin tan ． 2 【解析】 不 妨 设 f (x) x sinx ， 则 f (0) 0 ， 且 当 0 x 时 ， 2 f (x) 1cosx 0 ．于是f (x)在0 x 上单调增．∴f (x) f (0) 0 ．即 2 有x sinx ． 同理可证g(x) tanx x 0 ． 1 ，当 时， ．于是 在 上单调增。 g(0) 0 0 x g (x) 2 1 0 g(x) 0 x 2 cos x 2 ∴在0 x 上有g(x) g(0) 0 。即tanx x 。 2 注记：也可用三角函数线的方法求解． 2． 为边长为 的
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