新2018届中考数学提升练习：专题(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明.pdfVIP

小编微信：zhongxuejiaoyannet 专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与 证明 【经典母题】 如图Z13 －1，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上的一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C，交半圆于点F .已知AC ＝12，BC ＝9，求AO 的长． 图Z13 －1 经典母题答图 解：如答图，连结OE ，设⊙O 的半径是R ，则OE ＝OB ＝R . 在Rt△ACB 中，由勾股定理，得 2 2 AB ＝ AC ＋BC ＝15. ∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE ⊥AC ， ∴∠OEA ＝90°＝∠C ，∴OE ∥BC ， ∴△AEO ∽△ACB ， OE AO R 15 －R 45 ∴ ＝ ，∴ ＝ ，解得R ＝ ， BC AB 9 15 8 75 ∴AO ＝AB －OB ＝15 －R ＝ . 8 【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形 ，从而得到相似 三角形，利用比例线段求AO 的长． 【中考变形】 1．如图Z13 －2 ，在Rt△ACB 中，∠ACB ＝90°，O 是AC 边上 的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连 结OD. (1)求证：△ADO ∽△ACB ； 图Z13 －2 小编微信：zhongxuejiaoyannet 小编微信：zhongxuejiaoyannet (2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC . 证明：(1) ∵AB 是⊙O 的切线 ，∴OD ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ADO ＝90° ，∵∠A ＝∠A ， ∴△ADO ∽△ACB ； AD OD (2)由(1)知 ，△ADO ∽△ACB .∴ ＝ ， AC BC ∴AD ·BC ＝AC ·OD ，∵OD ＝1 ，∴AC ＝AD ·BC . 2 ．[2017·德州]如图Z 13－3，已知Rt△ABC ，∠C＝90 °，D 为BC 的中点，以AC 为直 径的⊙O 交AB 于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若AE ∶EB ＝1 ∶2 ，BC ＝6，求AE 的长． 图Z13 －3 中考变形2 答图 解：(1)证明：如答图 ，连结OE ，EC ，∵AC 是⊙O 的直径 ， ∴∠AEC ＝∠BEC ＝90° ，∵D 为BC 的中点 ， ∴ED ＝DC ＝BD ，∴∠1 ＝∠2 ，[来源:Z*xx*k.Com] ∵OE ＝OC ，∴∠3 ＝∠4 ， ∴∠1 ＋∠3 ＝∠2 ＋∠4 ，即∠OED ＝∠ACB ， ∵∠ACB ＝90° ，∴∠OED ＝90° ，∴DE 是⊙O 的切线； (2)由(1)知∠BEC ＝90° ， ∵在Rt△BEC 与Rt△BCA 中，∠B ＝∠B ，∠BEC ＝∠BCA ， BE BC ∴△BEC ∽△BCA ，∴ ＝ ， BC BA ∴BC2 ＝BE ·BA ，∵AE ∶EB ＝1 ∶2 ， 小编微信：zhongxuejiaoyannet 小编微信：zhongxuejia