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热点 几何体与球切、接的问题（一） 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一. 高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才 能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼 的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和 套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接 问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容 不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. 首先明确定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面 体是这个球的 内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多 面体，这个球是这个多面体的内切球. 1 球与柱体的切接 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两 种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等 相关问题. 1.1 球与正方体 如图所示，正方体AB CD  A B C D ，设正方体的棱长为a ，E ,F ,H , G 为棱的中点， 1 1 1 1 O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EF GH a 和其内切圆，则 OJ  r  ；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EF GH 和其 2 2 外接圆，则 GO  R  a ；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形A CA C 和其外 1 1 2 3 接圆，则 A O  R   a .通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用 1 2 工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系， 确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题. （1）正方体的内切球，如图 1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中 心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r  a . （2）正方体的外接球，如图 2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中 心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r  3a . （3）正方体的棱切球，如图 3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与 球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r  2a . 例 1 【2018届福建省三明市A 片区高中联盟校高三上学期期末】某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的外接球的表面积为（ ）[来源:Z+xx+k.Com] A. 4 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 1.2 球与长方体 例 2 自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA,MB ,M C ，求 MA 2  MB 2  M C2 的值． 4R 2 【答案】 . 【解析】以MA, MB , M C 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥M  AB C 补成一个长方 体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的 直径． MA 2  MB 2  M C2 = (2R)2  4R 2 ． 例 3 【2018 届二轮复习专题】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的 四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．