高考数学-考点19 解三角形相关的综合问题-2018版典型高考数学试题解读与变式（解析版） 学习资料.docVIP

PAGE 2汇聚名校名师，奉献精品资源，打造不一样的教育！ PAGE 2 解三角形相关的综合问题 【考纲要求】 （1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形试题问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【命题规律】 以选择题、填空题的形式考查，主要利用正弦定理与余弦定理实现边角互化、与数列、解析几何等综合，属基础题；以解答题的形式考查，主要的题型有两类：一是以实际生活为背景，常与试题工件、测量距离和高度及工程建筑等生产相结合，通过巧妙设计和整合，命制新颖别致的考题，该类问题重在考查学生分析问题并能用数学工具解决实际问题的能力，属中档题；二是与平面向量、三角恒等变换等知识交汇命题，考查三角形的有关知识．学-科网 预计2018年高考在解答题考查解三角形与三角恒等变换相结合，考查学生综合分析与解决问题的能力． 【典型高考试题变式】 （一）与三角函数的综合 例1　【2017课标II】的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，的面积为，求． 【答案】（1）；（2）． 【方法技巧归纳】三角恒等变换与正、余弦定理在高考中经常交汇出现.根据正、余弦定理可以计算内角的正、余弦值,再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值,恒等变换公式与正、余弦定理公式往往交替使用,具体的选择要结合条件及待求量灵活处理． 【变式1】【例题中条件给出方式没变，（1）问求解角没变，（2）变为了知边求面积】锐角三角形中，角所对的边分别为，若． （1）求角的大小； （2）若线段上存在一点，使得，且, ，求． 【答案】（1），（2） 【解析】（法一）（1）在中， ， ，， （法二）（1）在中， ， ， ，， ， ． 【变式2】【例题中条件的给出方式没变，（1）问求解角，（2）改为知边求三角形边的中线】在中，角所对的边分别为，且． （1）求角A的大小； （2）若，D是BC的中点，求AD的长． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由正弦定理可得， ， 从而可得． 又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形内角，∴． （2）由余弦定理得： ， 又∵，∴是直角三角形， ， ∴，∴． （二）与平面向量的综合 例2　【2014辽宁卷】在中，内角的对边，且，已知，，，求： （1）和的值； （2）的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由得，． 又．所以．由余弦定理，得． 又．所以．解得或． 因为．所以． 【方法技巧归纳】解三角形与平面向量的交汇在高考中越来越受到重视，这是因为此类试题既新颖精巧，又符合在知识的“交汇处”构题．这类试题解答主要有两种途径：（1）首先利用正弦定理或余弦定理转化边或角的关系，然后利用平面向量的知识求解；（2）首先利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积等知识将向量转化为三角形的边或角的关系，然后选用正弦定理与余弦定理进行求解． 【变式1】【例题条件中的数量积改为所求，两题都是利用正弦定理与余弦定理求解】在中，的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）设，为垂足，若，，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】（1），由正弦定理，得, 又在中， ， ， 即， 又 ，， 又 ，． （2） 由余弦定理，得，，，，． ，即，∴， ∴． 【变式2】【例题中条件边与角的大小改为面积，所求还是求角和求边】已知中, 分别是内角的对边,若，． (1)求角的大小； (2)若边长,求边长和大小． 【答案】（1）（2）或 【解析】(1) , , ． (2) , 又,得,解之得或． （三）解三角形的实际应用问题 例3　【2014新课标Ⅰ】如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________． 【答案】150 【方法技巧归纳】应用正弦定理、余弦定理解决实际问题的步骤及流程： （1）读题：分析题意，准确理解题意，分析已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、和方位角等； （2）图解：根据题意画出示意图，并将已知条件在图中标出； （3）建模：将所求解的问题归结到一个或几个三角形，通过合理运算正弦定理、余弦定理等有关的知识求解； （4）验证：检验解出的结果是否具有实际意义，并对结果进行取舍，得出正确答案． 【变式1】【例题中测高度没有改变，改变的是测量的个别量的数据】如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为,已知，则山的高度MN为_________． 【答案】300 【解析】由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，． 【变式2】【例题中测山的高度改变为测海上两岛屿的距离，解答同时利用正弦与余弦定理】5．如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在处观测， 分