.8真分式的部分分式分解一个分式是两个多项式的商。设30.pptVIP

5.8 真分式的部分分式分解 一个分式是两个多项式的商。设分子的次数 为n，分母的次数为m。当n＜m时，该分式称为 真分式；当n≥m时，该分式称为假分式。 假分式可以写成多项式与真分式的和。这里 主要讲解真分式的部分分式分解。 例5.35 分解 成部分分式;解：因为分母含有(x－1)的三重因式，所以设 等式右边通分后得 比较等式两边分子各项的系数得 Ａ＋Ｂ＝1　　　　　　解得：　Ａ＝－1 －3Ａ－2Ｂ＋Ｃ＝0　　　　　　Ｂ＝2 3Ａ＋Ｂ－Ｃ＋Ｄ＝0　　　　　 Ｃ＝1 －Ａ＝1 Ｄ＝2 则 ;5.9 简单的微分方程 含有函数的导数的方程称为微分方程。如果导数 是一元函数的导数，则称为常微分方程。 微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导 数的最高阶数。 微分方程的次数：微分方程中所含有的各项中未 知函数及其各阶导数的次数之和的最大值。 一次微分方程称为线性微分方程。 由微分方程求原函数称为解微分方程。求出的原 函数称为微分方程的解。 含有任意常数的微分方程的解称为通解，不含有 任意常数的微分方程的解称为特解。;[一阶微分方程的解法] 两边积分法 形如y’＝f(x)的微分方程可用两边积分的方法直 接求出微分方程的解。 例5.44 求经过点(3,10)，并且在每一点P(x,y)处 的切线的斜率等于该点横坐标的平方的曲线。 解：设曲线方程为y＝f(x)，由题意得y’＝ 初始条件为y|x=3＝10 两边积分得 y＝ 代入初始条件得10＝9＋C，C＝1 故所求曲线为 ;可分离变量的微分方程 先把y’写成 的形式，如微分方程可化为 g(y)dy＝f(x)dx，则两边积分就可求得通解为 G(y)＝F(x)＋C 例如：解微分方程 y＝y2+xy2 解：原方程即 ＝y2(1+x) 可变形为 两边积分得;第六章 定积分 6.1 定积分的概念与性质 １．定积分的概念 y=f(x) 求曲边梯形的面积 在直角坐标系中，设有曲线y＝f(x) x=a x=b 我们不妨假定f(x)≥0，求y＝f(x)、 x＝a、x＝b和X轴所围成的曲边梯形的面积。 我们可以在[a,b]中任意插入n－1个分点把[a,b] 分成n个小区间[xi-1,xi]，其长度△xi＝xi－xi-1，在 每一个小区间内任取一点ξi，用长为f(ξi)宽为△xi 的矩形面积代替小曲边梯形面积△Si，则曲边梯形面 积为这些矩形面积的和当n→∞时的极限。;例6.1 求由曲线y＝x2，X轴(即直线y＝0)和直线x＝1所围成的图形的面积。 ⑴分割：在[0,1]之间插入n-1个 分点，每一段记作△xi，则△xi＝ ， 把梯形分成n个小曲边梯形，它们的 面积为△Si ⑵替代：在△xi中任取一点ξi(例如左端点)，用 矩形面积代替小曲边梯形面积△Si≈f(ξi)△xi= ⑶作和式：Sn＝ ＝ ⑷求极限:当n→∞时，S= ; 由此可见，求曲边梯形的面积问题可以通过分割、 替代、作和式、求极限四个步骤，最终归结为求和式 Sn 的极限问题。 [定积分的概念] 设函数f(x)在[a,b]上有定义，在[a,b]中任意插 入n－1个分点,a＝x1＜x2＜…＜xn＜xn+1＝b，把[a,b] 分成n个小区间[xi-1,xi]，每一段的长度记作△xi， 在每一个小区间内取一点ξi，作和式Sn＝ ， 若当n→∞时和式Sn的极限存在，则称此极限值为f(x) 在[a,b]上的定积分记作 ,则 其中a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做 积分区间，f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积式， x叫做积分变量。;[说明] 1.曲边梯形的面积是函数y＝f(x)在[a,b]上的定积分。其中X轴上方的面积为正，X轴下方的面积为负。 2.如果定积分存在，那么对[a,b]所作的分割是任意的，每一个小区间内ξi的取法也是任意的，当n→∞时，Sn的极限都相同。 [定理6.1] 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在 [a,b]上的定积分 存在。 函数f(x)在[a,b]上的定积分 存在又称 为函数f(x)在[a,b]上可积。;2.定积分的性质 定积分有下列三条主要性质： ⑴被积函数的常数因子可以提到积分号的前面， 即