微分 基础知识导学.docVIP

§4–7 微分 基础知识导学 1．定义 如果函数y= f (x)在点x的某一邻域内有定义，且当自变量x有改变量Δx时，函数y有改变量Δy Δy= f (x+Δx) - f (x)=A?Δx+o(Δx) (Δx→0) 其中A与Δx无关，则称A?Δx为函数f (x)在点x处的微分，记作dy或df (x) 即 dy=A?Δx或df (x) =A?Δx 此时也称函数y= f (x)在点x处可微。 当A≠0时函数的微分dy=A?Δx也称作函数的改变量Δy的线性主部。 2．可微与可导的关系 定理 函数y= f (x)在x点可微的充要条件是：函数y= f (x)在x点可导。 换言之，若函数y= f (x)在x点可导，则它在x点可微，且dy= fˊ(x)Δx；反之若函数在x点可微dy=A?Δx，即，则它在x点可导，且fˊ(x) =A 又因自变量的微分就等于自变量的改变量，即dx=Δx，所以 dy= fˊ(x)dx 有 fˊ(x) = SKIPIF 1 0 即函数y= f (x)在x处的导数等于函数的微分与自变量的微分之商，故导数也称作微商。 3．微分的几何意义 yΔyO x0 x0+Δx xdyMy= f (x)函数f y Δy O x0 x0+Δx x dy M y= f (x) 4．微分的基本公式和运算法则 由dy= fˊ(x)dx和导数的基本公式，可得如下 微分基本公式： （1）d (C) = 0 （C为常数） （2）d ( SKIPIF 1 0 )= SKIPIF 1 0 dx ( SKIPIF 1 0 为任意实数) （3）d (sin x)= cos xdx （4）d (cos x)= -sin xdx （5）d (tg x)= sec2x dx （6）d (ctg x)= -csc2xdx （7）d (a x)= a x lnadx （8）d (e x)= e xdx （9）d (loga| x |)= SKIPIF 1 0 dx (a 0，a≠1) （10）d (ln| x |)= SKIPIF 1 0 dx （11）d (arc sin x)= SKIPIF 1 0 dx （12）d (arccos x)= SKIPIF 1 0 dx （13）d (arctg x)= SKIPIF 1 0 dx （14）d (arcctg x)= SKIPIF 1 0 dx （15）d (sh x)= ch x dx （16）d (ch x)= sh xdx （17）d (th x)= SKIPIF 1 0 dx 对应于求导的运算法则有下面的微分运算法则： （1）d [ u (x)±v (x) ]= d u (x) ± d v (x) （2）d [ u (x) v (x) ]= d u (x) v (x) + u (x) d v (x) （3）d [cu (x)] = c d u (x) （4） SKIPIF 1 0 （5） SKIPIF 1 0 5．一阶微分形式不变性 与复合函数求导法则相对应的微分运算为下面的微分形式不变性质： 定理 设有复合函数，若u= SKIPIF 1 0 在x点处可微，y=f (u)在对应点u处可微，则复合函数y=f [ SKIPIF 1 0 ]在点x处可微，并且 dy=fˊ(u)du 因为由复合函数运算法则 SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ? SKIPIF 1 0 知 dy= SKIPIF 1 0 dx= SKIPIF 1 0 ? SKIPIF 1 0 dx= SKIPIF 1 0 ?du 即 dy= SKIPIF 1 0 ?du 对照dy= SKIPIF 1 0 ?du和公式dy= SKIPIF 1 0 dx说明不论u是自变量还是中间变量，函数微分的形式是完全一样的，故称为微分形式不变性。 6．微分在近似计算中的应用 （1）微分进行近似计算的理论依据 对于函数 SKIPIF 1 0