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第三节 微积分基本公式 积分学中要解决两个问题：第一个问题是原函数的求法问题, 我们在第四章中已经对它做了讨论；第二个问题就是定积分的计算问题. 如果我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的. 因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键. 我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念. 但是, 牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系. 即所谓的“微积分基本定理”, 并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿-莱布尼茨公式. 从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微积分学. 牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基人而载入史册. 分布图示 ★ 引言 ★ 引例 ★ 积分上限函数 ★ 积分上限函数的导数 ★ 例1 ★ 例2-3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 原函数存在定理 ★ 牛顿—莱布尼茨公式 ★ 牛顿—莱布尼茨公式的几何解释 ★ 例8 –9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-3 讲解注意： 一、 引例 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系. 二、 积分上限的函数及其导数： SKIPIF 1 0 定理2 若函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上连续,则函数 SKIPIF 1 0 就是 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上的一个原函数. 三、牛顿—莱布尼兹公式 定理3 若函数 SKIPIF 1 0 是连续函数 SKIPIF 1 0 在区间 SKIPIF 1 0 上的一个原函数,则 SKIPIF 1 0 . (3.6) 公式(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式. 例题选讲： 积分上限的函数及其导数 例1 (E01) 求右图中阴影区域的面积 解 由题意，得到 阴影区域的面积 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 例2（E02）求 SKIPIF 1 0 . 解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例3（E03）求 SKIPIF 1 0 . 解 这里 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的函数，因而是 SKIPIF 1 0 的复合函数，令 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 根据复合函数求导公式，有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 例4 设 SKIPIF 1 0 是连续函数, 试求以下函数的导数. (1) SKIPIF 1 0 ; (2) SKIPIF 1 0 ; (3) SKIPIF 1 0 解 (1) SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (2) 因为 SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 (3) 因为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，所以， SKIPIF 1 0 例5 设函数 SKIPIF 1 0 由方程 SKIPIF 1 0 所确定. 求 SKIPIF 1 0 解 在方程两边同时对 SKIPIF 1 0 求导: SKIPIF 1 0 于是 SKIPIF 1 0 ， 即 SKIPIF 1 0 故 SKIPIF 1 0 例6（E04）求 SKIPIF 1 0 . 分析:这是 SKIPIF 1 0 型不定式,应用洛必达法则. 解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIP