第六节 函数的连续性.doc

第六节 函数的连续性 客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 本节将要引入的连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型. 16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述. 连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性. 本节和下一节将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质. 分布图示 ★ 引言 ★ 函数增量的概念 ★ 连续函数的概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 函数的左连续与右连续 ★ 例3 ★ 例4 ★ 连续函数与连续区间 ★ 例5 ★ 函数的间断点及其分类 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 连续函数的四则运算 ★ 连续函数的复合运算 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 初等函数的连续性 ★ 最大最小值定理 ★ 零点定理与介值定理 ★ 例15 ★ 例16 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 6 内容要点 一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式 二、左右连续的概念 定理1 函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处连续的充要条件是函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处既左连续又右连续. 三、连续函数与连续区间 四、 函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点； 五、初等函数的连续性 连续函数与四则运算 定理2 连续函数与复合函数 定理3 定理4 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 注：定理4的结论非常重要，因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数. 而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的. 从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景. 六、闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理 有界性定理 零点定理 介值定理 例题选讲 函数的连续性 例1 (E01) 试证函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处连续. 证 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由定义2知，函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处连续. 例2 设 SKIPIF 1 0 是定义于[a, b]上的单调增加函数, SKIPIF 1 0 如果 SKIPIF 1 0 存在, 试证明函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处连续. 证 设 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 单调增加，则 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 由此可见， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 因此 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 连续. 例3 讨论 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处的连续性. 解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 右连续但不左连续，故 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 处不连续. 左右连续 例4 (E02) 已知函数 SKIPIF 1 0 在点 SKIPIF 1 0 处连续，求 SKIPIF 1 0 的值. 解