三角变换常用的方法和技巧.docVIP

三角函数中三角变换常用的方法和技巧 一、角的变换 当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果． 例1　函数的最小值等于（　　）． （A）　　（B） 　　（C） 　　（D） 解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：，所以将函数的表达式转化为，故的最小值为．故选（C）． 评注：常见的角的变换有：，，，，，．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系． 例2、已知 均是锐角，求。 解： 小结：本题根据问题的条件和结论进行的变换。 例3、已知cos(,sin(-)=,且求 分析：观察已知角和所求角，可作出的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。 解： 例4、已知求证： 分析：由角的特点，因已知条件所含角是所证等式含角所以以角为突破口。 证明： 小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。 二、函数名称变换 三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决． 例1、若sin（α+β）=, sin （α—β）＝，求 解：由sin=（α+β）=, s in （α—β）＝得 ∴＝＝ 例2、当时，函数的最小值是（　）． （A）　　（B） （C）　　（D） 解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于与的齐二次式，所以，分子与分母同时除以转化为关于的函数进行求解．因为，所以，所以．故选（A）． 评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法： （1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明； （2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式将“弦函数”化为“切函数”进行解答． 例3、化简： 解：原式 例4、已知，求的值。 解：∵， ∴ 点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。 三、升幂与降幂变换 分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一． 例1、　已知为第二象限角，且，求的值． 分析：由于已知条件中知道的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答． 解：原式 当为第二象限角，且时，，，所以． 评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1． 例2、求值： 解：原式：＝＝ == ＝＝ 注：怎样处理sin320°和是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。 四、常数变换 例1、已知，求的值． 分析：由已知易求得的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解． 解：由，得， 于是原式． 评注：对于题中所给三角式中的常数（如：等），比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用． 求值（—）· 解：∵—＝ ＝ ＝ ＝＝＝32cos20o ∴原式＝32 五、消参变换 当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决． 例1、已知，且，． 求证：． 分析：由于已知和结论中都含有参数，所以我们可以把已知变形，求出，代入化简，即可证得等式成立． 评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成． 六、变换公式的方法 使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。 三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。如cosα＝，tanα±tanβ＝tan（α＋β）（1tanαtanβ）等。 例1：求值： 解：先看角，都是12°；再看“名”，需将切割化为弦，最后在化简过程中再看变换。 原式＝（切、割化为弦） ==(逆用二倍角) =（常数变换） =（逆用差角公式）＝ ＝－４（逆用二倍角公式） 注：要养成逆用公式的意识，熟悉教材给出的三角基本公式的同时，如果我们熟悉其他变通形式常可以开拓解题思路。 例2、求的值。 解：原式= 小结：对于两个角的正切的三角函数的和与积的形式的求值问题，通常利用的变形式 例3、求的值。 又 例4、 若αβ为锐角且满足sinα—s