数学归纳法复习课.pptVIP

* 数学归纳法 思考题： （1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？ （2）数学归纳法有几个步骤？每个步骤说明什么问题？ （3）为什么这些步骤缺一不可？ 数学归纳法的步骤 根据(1)(2)知对任意的 　　　　　　时命题成立。 注： （1）证明当 取第一个值 或 时结论正确 （2）假设当　　　　　　　　　　　　　 时结论正 确，并证明当 时结论也正确。 两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了递推的依据。 只有把第一、二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要做一个总的结论。 （3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。 （1） （2） 数学归纳法的应用 题型一 用数学归纳法证明等式问题 题型二 用数学归纳法证明不等式问题 题型三 用数学归纳法证明整除问题 题型四 用数学归纳法证明几何问题 题型五 用数学归纳法解决探究性问题 题型一 用数学归纳法证明等式问题 第二步的证明要用上归纳假设! 例2、已知正数数列{an}中,前n项和为sn,且 用数学归纳法证明: 证:(1)当n=1时, =1,结论成立. (2)假设当n=k时,结论成立,即 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也成立. 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立. 第二步的证明要用上归纳假设! (1)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到 n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学 归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无 效. 证明中的几个注意问题： (2)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明时 应根据具体情况而定. (3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什 么，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清 应增加的项. 1）明确首先取值n0并验证命题真假（必不可少）； 2）“假设n=k时命题正确”并写出命题形式； 3）分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等； 5）两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 题型二 用数学归纳法证明不等式问题 例2、用数学归纳法证明: 证:(1)当n=2时, 左边= 不等式 成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有: 题型二 用数学归纳法证明不等式问题 即当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例3、证明不等式: 证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立. (2)假设当n=k时不等式成立,即有: 则当n=k+1时,我们有: 即当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立. 例4、求证: 证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于 故不等式成立. (2)假设n=k( )时命题成立,即 则当n=k+1时, 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 都成立. 例5、已知x ?1，且x?0，n?N，n?2． 求证：(1+x)n1+nx. （2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx 当n=k+1时，因为x ?1 ，所以1+x0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+11+(k+1)x． 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立. 证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2 ∵ x?0，∴ 1+2x+x21+2x=右