可微分函数的定义.PPT

應用統計資訊學系 網路教學課程 第四講 導函數的計算 課程內容： 1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式 3. 連鎖法則 課程內容： 1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式 3. 連鎖法則 因為複雜的代數函數是基本代數函數經由加、減、乘、除、方根或合成運算的結果，因此為了求得複雜函數的導函數，先利用導函數的定義，建立一些基本代數函數的導函數。 如果從函數f到f 過程視為一種函數，通常以Dx(讀作”dee x”，稱為dee符號)表示此函數，即Dx:f→f ，或Dxf=f ，或Dxf(x)=f (x)，因此稱Dx為微分運算子。 定理4-1：基本代數函數的導函數 (a) 若f(x)=k，k為常數，則f(x)=0，或Dx(k)=0。 (b)若f(x)=x，則f(x)=1，或Dx(x)=1。 (c)若f(x)=xn，n為正整數，則f‘(x)=nxn-1，或Dx(xn)=nxn-1。 證明：直接使用導函數的定義，就可以證得此定理，(a)與(b)留給讀者自行練習，這裡僅證明(c)，其過程如下： 此結果稱為冪法則(power rule)，即Dx(xn)=nxn-1。 證明：直接使用導函數的定義，就可以證得此定理，(a)與(b)留給讀者自行練習，這裡僅證明(c)，其過程如下： 此結果稱為冪法則(power rule)，即Dx(xn)=nxn-1 。 可微分函數的定義： 若f (c)存在，則函數f(x)在x=c可微分。若函數f(x)在區間Ⅰ的每一內點可微分，則稱f(x)在區間Ⅰ可微分。 例1：證明函數f(x)=x2在區間(-∞，∞)可微分。 解：利用定理4-1(c)，得f (x)=2x且在區間(-∞，∞)存在，故f(x)在區間(-∞，∞)可微分。 例2：證明函數 在區間(0，∞)可微分。 解：利用導函數的定義，得 且在區間(0，∞)存在，故f(x)在區間(0，∞)可微分。 例3：證明函數 在區間(-∞，0)與(0，∞)可微分。 解：利用導函數的定義，得 且在區間(-∞，0)與(0，∞)存在，故f(x)在區間(-∞，0)與(0，∞)可微分。 例4：決定函數f(x)=|x|在哪裡可微分。 解：利用導函數的定義，求f (x)，再決定f (x)的定義域，即可決定函數f(x)可微分的地方，其過程如下： 即 。因此f (x)的定義域為(-∞，0)∪(0，∞) ，故函數f(x)在區間(-∞，0)∪(0，∞)可微分。 從幾何意義也可以了解這樣的結果，如下圖(a)，曲線y=|x|在點(0,0)是尖角，所以沒有切線，故f(0)不存在，當x0，則曲線y=|x|的切線是y=x，其斜率為1，故f(x)=1，當x0，則曲線y=|x|的切線是y=-x，其斜率為-1，故f(x)=-1，此幾何意義與 的代數意義相同，其圖形如下圖(b)。 定理4-2 若f(c)存在，即函數f在c點可微分，則函數f在c點連續。 證明：必須證明 或 。 考慮 即 ，故證得函數f在c點連續。 注意：此定理的逆敘述不成立，即函數f在c點連續，不能保證函數在c點可微分，最典型的例子是例4，函數f(x)=|x|在任何實數連續，但是f (0)不存在，即函數f在0點不可微分。 例5：證明函數f(x)=[x]在整數點不可微分。 證明：令c為整數，先考慮右極限 其次考慮左極限 因為左、右極限不相等，所以f (c)不存在，故函數f(x)=[x]在整數點不可微分。 例6：證明函數 在0點不可微分。 證明：直接求f的導函數f，其過程如下： 因為f(0)不存在，故 在0點不可微分。 一般而言，函數在下列情形不可微分：(i) 尖角的地方，如例4，函數f(x)=|x|在x=0處有尖角。(ii) 不連續的地方，如例5，函數f(x)=[x]在整數點不連續。 (iii) 垂直切線的地方，如例6，函數 在原點的切線是y軸，如下圖。 課程內容： 1. 基本函數的導函數 2. 微分法公式 3. 連鎖法則 所謂微分法，就是求導函數的方法，雖然已經知道從導函數的定義，可以直接求得導函數，但是其過程過費時又枯燥，此處將建立一些微分法的運算公式，如此可省略冗長的計算過程，對於求複雜函數的導函數更為方便，下面定理陳述可微分函數加、減、乘、除的微分法公式。