高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4第1课时比较法分析法综合法当堂达标北师大版选修.docVIP

PAGE 1.4　第一课时 比较法、分析法、综合法 1．已知a，b∈R，M＝a2＋b2，N＝2(a－b－1)，则M与N的大小关系是(　　) A．M≥N　　　　　　 B．M＞N C．M≤N D．M＜N 解析：因为M－N＝a2＋b2－2(a－b－1)＝a2＋b2－ 2a＋2b＋2＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1) (b＋1)2≥0， 所以M－N≥0，即M ≥N. 答案：A 2．给出下列命题： ①当b＞0时，a＞b?eq \f(a,b)＞1； ②当b＞0时，a＜b?eq \f(a,b)＜1； ③当a＞0，b＞0时，eq \f(a,b)＞1?a＞b； ④当ab＞0时，eq \f(a,b)＞1?a＞b. 其中真命题有(　　) A．①②③ B．①②④ C．④ D．①②③④ 解析：由不等式的基本性质，可知①②③正确．命题④没有对b的正负进行讨论，故④不正确． 答案：A 3．欲证eq \r(2)－eq \r(3)＜eq \r(6)－eq \r(7)，只需证(　　) A．(eq \r(2)－eq \r(3))2＜(eq \r(6)－eq \r(7))2 B．(eq \r(2)－eq \r(6))2＜(eq \r(3)－eq \r(7))2 C．(eq \r(2)＋eq \r(7))2＜(eq \r(3)＋eq \r(6))2 D．(eq \r(2)－eq \r(3)－eq \r(6))2＜(－eq \r(7))2 解析：欲证eq \r(2)－eq \r(3)＜eq \r(6)－eq \r(7)，只需证(eq \r(2)＋eq \r(7))2＜(eq \r(3)＋eq \r(6))2. 展开，得9＋2eq \r(14)＜9＋2eq \r(18).只需证2eq \r(14)＜2eq \r(18)， 只需证eq \r(14)＜eq \r(18).而14＜18.所以eq \r(14)＜eq \r(18).所以原不等式成立． 答案：C 4．设x∈R，下列各数恒大于x的是________. ①x2＋1；②10x；③|x|；④x2. 解析：取x＝0，则有10x＝x2＝|x|＝0，排除②③④.因为x2＋1－x＝x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0，所以x2＋1＞x. 答案：① 5．如果a＞b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2eq \r(2)(a－b)，并指明何时取等号． 证明：因为a＞b，所以a－b＞0. 因为ab＝1， 所以eq \f(a2＋b2,a－b)＝eq \f(a2＋b2－2ab＋2ab,a－b)＝eq \f(?a－b?2＋2,a－b)＝ a－b＋eq \f(2,a－b)≥2eq \r(?a－b?·\f(2,a－b))＝2eq \r(2)， 即a2＋b2≥2eq \r(2)(a－b)， 当且仅当a－b＝eq \f(2,a－b)，即a－b＝eq \r(2)且ab＝1时取等号．