【初中数学】几何题，辅助线的添加方法和典型例题.docx

初中数学 几何题型，辅助线的画法和典型例题 (1)．倍长中线法 1、已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论. 【思路点拨】因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使DG＝DF,证明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，这样就把BE、CF与EF线段转化到了△BEG中，利用两边之和大于第三边可证. 【答案与解析】BE＋CF＞EF； 证明：延长FD到G，使DG＝DF,连接BG、EG ∵D是BC中点 ∴BD＝CD 又∵DE⊥DF 在△EDG和△EDF中 ∴△EDG≌△EDF（SAS） ∴EG＝EF 在△FDC与△GDB中 ∴△FDC≌△GDB(SAS) ∴CF＝BG ∵BG＋BE＞EG ∴BE＋CF＞EF 【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）. 举一反三： 【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB＝∠ABC． 求证：CD＝2CE． 【答案】 证明： 延长CE至F使EF＝CE，连接BF． ∵ EC为中线， ∴ AE＝BE． 在△AEC与△BEF中， ∴ △AEC≌△BEF（SAS）． ∴ AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形对应边、角相等） 又∵ ∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A． ∴ AC＝AB，∠DBC＝∠FBC． ∴ AB＝BF． 又∵ BC为△ADC的中线， ∴ AB＝BD．即BF＝BD． 在△FCB与△DCB中， ∴ △FCB≌△DCB（SAS）． ∴ CF＝CD．即CD＝2CE． (2)．作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形 2、已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2．求证：AB＝AC＋CD． 【答案与解析】 证明：在AB上截取AE＝AC． 在△AED与△ACD中， ∴ △AED≌△ACD（SAS）． ∴ ED＝CD． ∴ ∠AED＝∠C(全等三角形对应边、角相等)． 又∵ ∠C＝2∠B ∴∠AED＝2∠B． 由图可知：∠AED＝∠B＋∠EDB， ∴ 2∠B＝∠B＋∠EDB． ∴ ∠B＝∠EDB． ∴ BE＝ED．即BE＝CD． ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD(等量代换)． 【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB＞AC．故用截长补短法．在AB上截取AE＝AC．这样AB就变成了AE＋BE，而AE＝AC．只需证BE＝CD即可．从而把AB＝AC＋CD转化为证两线段相等的问题． 举一反三： 【变式】如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HD＝BD. (1)求证：∠B与∠AHD互补； (2)若∠B＋2∠DGA＝180°，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明. 【答案】 证明：（1）在AB上取一点M, 使得AM＝AH, 连接DM. ∵ ∠CAD＝∠BAD, AD＝AD, ∴ △AHD≌△AMD. ∴ HD＝MD, ∠AHD＝∠AMD. ∵ HD＝DB, ∴ DB＝ MD. ∴ ∠DMB＝∠B. ∵ ∠AMD＋∠DMB ＝180?, ∴ ∠AHD＋∠B＝180?. 即 ∠B与∠AHD互补. （2）由（1）∠AHD＝∠AMD, HD＝MD, ∠AHD＋∠B＝180?. ∵ ∠B＋2∠DGA ＝180?, ∴ ∠AHD＝2∠DGA. ∴ ∠AMD＝2∠DGM. ∵ ∠AMD＝∠DGM＋∠GDM. ∴ 2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM. ∴ ∠DGM＝∠GDM. ∴ MD＝MG. ∴ HD＝ MG. ∵ AG＝ AM＋MG, ∴ AG＝ AH＋HD. （3）.利用截长(或补短)法作构造全等三角形 3、如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点， 求证：MB－MC＜AB－AC． 【思路点拨】因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立． 【答案与解析】 证明：因为AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME． 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）． 在△AMC和△AME中， ∴ △AMC≌△AME（SAS）． ∴ MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵ BE＝AB－AE， ∴ BE＝AB－AC， ∴ MB－MC＜AB－AC． 【总结升华】充分利用角平分线的对称性