高中数学-函数与方程..docVIP

高中数学-函数与方程 　　函数与方程 　　知识要点: 　　1.方程的根与函数的零点 　　(1)函数零点 　　概 念 :对 于 函 数 ) )((D x x f y ∈=, 把 使 0) (=x f 成 立 的 实 数 x 叫 做 函 数 ) )((D x x f y ∈=的零点。 　　函数零点的意义:函数 ) (x f y =的零点就是方程 0) (=x f 实数根, 亦即函数 ) (x f y =的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 0) (=x f 有实数根 ?函数 ) (x f y =的图象与 x 轴有交点 ?函数 ) (x f y =有零点。 　　二次函数 ) 0(2≠++=a c bx ax y 的零点: 　　1) △0, 方程 02=++c bx ax 有两不等实根, 二次函数的图象与 x 轴有两个交点, 二次函数有两个零点; 　　2)△=0,方程 02=++c bx ax 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴 有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点; 　　3)△0,方程 02=++c bx ax 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数 无零点。 　　零点存在性定理:如果函数 ) (x f y =在区间 ], [b a 上的图象是连续不断的一条曲线, 并 且有 0) () (0, f (x ) 在区间[p , q ]上的最大值 M ,最小值 m ,令 x 0=2 　　1 (p +q ) 。 若- 　　a b 2 ?--=?0) (, 2, 042r f a r a b ac b ③二次方程 f (x )=0在区间 (p , q ) 内有两根 ???????????--=??; 　　0) (, 0) (, 2, 042p f a q f a q a b p ac b ④二次方程 f (x )=0在区间 (p , q ) 内只有一根 ?f (p ) ·f (q )0,或 f (p )=0(检验 ) 或 f (q )=0(检 验 ) 检验另一根若在 (p , q ) 内成立。 　　　　典型例题: 　　题型 1:方程的根与函数零点 　　例 1. (1)方程 lg x +x =3的解所在区间为( ) 　　A . (0, 1) B . (1, 2) C . (2, 3) D . (3, +∞ ) 　　练习:函数 () ln 26f x x x =+-的零点一定位于区间( ) . 　　A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 　　例 2. 已知函数 f (x ) =2mx +4,若在 [-2,1]上存在 x 0,使 f (x 0) =0,则实数 m 的取值范围 是 . 　　　　练习:若函数 f (x ) =a x -x -a (a 0, 且 a ≠1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是 . 　　　　练习:设 a 为常数,试讨论方程 ) lg() 3lg() 1lg(x a x x -=-+-的实根的个数。 　　　　题型 2:零点存在性定理 　　例 3.设函数 () ln() f x x x m =-+,其中常数 m 为整数。 　　(1)当 m 为何值时, () 0f x ≥; 　　(2)定理:若函数 () g x 在 [, ]a b 上连续,且 () g a 与 () g b 异号,则至少存在一点 0(, ) x a b ∈,使得 0() 0g x = 　　试用上述定理证明:当整数 1m 时,方程 () 0f x =在 2, m m e 　　m e m -??--??内有两个实 　　根。 　　　　练习:若函数 ) (x f y =在区间 [a , b ]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 ( ) 　　A .若 0) () (b f a f ,不存在实数 ) , (b a c ∈使得 0) (=c f ; 　　B .若 0) () (b f a f ,有可能存在实数 ) , (b a c ∈使得 0) (=c f ; 　　D .若 0) () (∈++=a R b a bx ax x f ,设方程 x x f =) (的两个实数 根为 1x 和 2x . 　　(1)如果 4221x ; 　　(2)如果 210,求实数 p 的取值范围 　　　　练习:已知二次函数 f (x ) =x2-16x+p+3. 　　(1)若函数在区间 [-1, 1]上存在零点,求实数 p 的取值范围; 　　(2)问是否存在常数 q (q ≥ 0) ,当 x ∈ [q, 10]时, f (x )的值域为区间 D ,且 D 的长