第十三章 函数列与数项级数.docVIP

PAGE PAGE 21 第十三章 函数列与数项级数 §1 一致收敛性 1. 讨论下列函数列在所示区间上是否一致收敛，并说明理由： ； ,； ； ，； ，， 提示：此类问题一般先求出函数列在所示区间上的极限函数，再由是否为零来判定函数列在所示区间上是否一致收敛，若为零，则一致收敛，若否，则非一致收敛. 解答：任意，，设，则 所以在上一致收敛，且一致收敛于，. 任意，，设，则 故，从而在上一致收敛，且一致收敛于，. 由表达式可知，当时，当时，只要，则有，所以 故，从而，所以在上不一致收敛. 任意给定的，有，设，。 时， 因此在上不一致收敛. 时， 所以在上一致收敛，且一致收敛，. 任意给定的，，设，. 时， 所以一致收敛，. 时， 故，所以在上不一致收敛. 2．证明：设,,，若对每一个正整数有,, 则在上一致收敛于. 提示：根据定理及来证之. 证明：因为任意及，有 故 又，故， 所以. 3．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性： ，； ，； ， ； ，； ，； ， 提示：此类问题一般用函数项级数的一致收敛性判别法：魏尔斯特拉斯判别法，阿贝耳判别法，狄利克雷判别法及一致收敛的柯西准则和定理来判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性. 解答：任意，因为 而级数收敛，所以在上一致收敛. 设，，设的部分和为，则任意，，又 ， 故对任意是单调递减的，又由任意均有 故一致收敛于，，由狄利克雷判别法知在上一致收敛. 因为，所以， 当时，因级数收敛，所以在时一致收敛. 当时，所以级数在时不一致收敛. 因时，，而收敛，所以在上一致收敛。 设，，则的部分和数列一致有界，且对任意， 即对任意，是单调的，又 ， 故一致收敛于，，所以由狄利克雷判别法可知在上一致收敛. 时 即此时 所以在上不一致收敛. 4．设函数项级数在上一致收敛于，函数在上有界，证明级数在上一致收敛于. 提示：用函数项级数一致收敛定义来证明级数在上一致收敛于. 证明：不妨设存在，对任意，有，又因在上一致收敛于，故对任意，存在，当时，对任意 ，均有 从而，对任意 所以在上一致收敛于. 5．若在区间上，对任何正整数， 证明当在上一致收敛时，级数在上也一致收敛。 提示：用一致收敛的柯西准则来推导. 证明：因为在上一致收敛，故对任给的，总存在，使得当 时，对任意，及任意，有 从而由得 所以柯西准则，级数在上一致收敛. 6．设是上的单调函数，证明:若与都绝对收敛，则在上绝对且一致收敛. 提示:用魏尔斯特拉斯判别法来证明. 证明:因为是上的单调函数,故对任意 又由与均绝对收敛,得收敛,从而在上收敛,即在上绝对且一致收敛. 7.在上定义函数列 证明级数在上一致收敛,但它不存在优级数. 提示:用一致收敛的柯西准则来证明级数在上一致收敛,用反证法来证明它不存在优级数. 证明:由可得 从而时,有恒成为,所以对于任意,取,当时,对任意的及,有 由柯西准则知,级数在上一致收敛. 若存在优级数,特别取,有 而正项级数发散,所以级数发散,这与为优级数矛盾,因此级数不存在优级数. 8.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间上的一致收敛: ; ; ; ; 提示：此类问题一般用函数项级数的一致收敛性判别法：魏尔斯特拉斯判别法，阿贝耳判别法，狄利克雷判别法及一致收敛的柯西准则，定理，函数项级数的一致收敛的必要条件和定义来判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性. 解答: 设,则 ,故时, 所以对任意,取,当时,对任意的及,总有 由柯西准则知,原级数在上一致收敛. 或因为 而级数收敛,从而级数在上一致收敛. 设,取,则且,所以在上不一致收敛. 设,则从而部分和数列 所以 故原级数在内不一致收敛. 设,故只需考虑级数在上的一致收敛性.设 ，则，且对任意，均单调递减,而 故一致收敛于,由狄利克雷判别法知，在 上一致收敛，从而原级数在上一致收敛. 设,则的部分和数列在上一致有界,又对任意,均是单调的,且 ,故一致收敛于, 由狄利克雷判别法知原级数一致收敛. 对任意的,取,则 ,故 所以原级数在上不一致收敛. 9．证明：级数在上绝对并一致收敛，但由其各项绝对值组成的级数在上却不一致收敛. 提示:用定理推导级数在上一致收敛, 用定义来证在上绝对收敛, 用定理来判定其各项绝对值组成的级数在上却不一致收敛. 证明: ，级数收敛，则 记，则，进而可得在时在上取得最大值，所以 从而，故原级数在上一致收敛. 下面讨论级数, 由于 , 则, 所以原级数在上绝对并一致收敛, 但其各项绝对值组成的级数在上却不一致收敛. 10. 设为定义