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TI图形计算器对一个变换问题的研究 南京市第十二中学 张小兵（210011） 问题：设二阶矩阵（k∈R），(n为正整数)，其中，则序列有什么特点？该问题的几何意义是点反复经过矩阵A对应的变换作用下得到的迭代点列在直角坐标系中的分布有何规律？笔者采用TI-nspire cx CAS图形计算器这一问题进行了初步的研究，得到了一些有趣的结论。 一．初步观察 k先取几个简单的数值看看，利用TI图形计算器作出的散点图，初步观察得到如下结论：k=0时，迭代点列在四个点（1，0），（0，1），（-1，0），（0，-1）间循环；k=1时，点列在六个点（1，0），（0，1），（-1，1），（-1，0），（0，-1），（1，-1）间循环；k=-1时，点列在三个点（1，0），（0，1），（-1，-1）间循环；k=2时，点列位于一条直线上且趋向于无穷远；k=-2时，点列位于两条平行直线上且趋向于无穷远；时，点列位于一个椭圆上且相邻两点的连线也围成一个椭圆（如图1）；k=3时，点列相邻两点的连线呈一条折线状并趋向于无穷远。 初步观察的结果令人兴奋，借助于TI图形计算器使我们更加容易地看到数学的美丽！ 图1 二．理论思考 k=0，1，-1的情形只要作简单的计算即可，对于k=2的情形，证明如下： 由得， 消去得即，所以数列{xn}为等差数列，由得，从而数列{xn}的公差为，所以（n∈N），所以迭代点列位于直线上. 时，迭代点列所在椭圆的方程是什么呢？在点 列An中取前五个点（1，0），（0，1），（-1，0.5），（-0.5，-0.75），（0.75，-0.875），利用图形计算器作过五点的圆锥曲线功能拟合得到如图2所示的椭圆方程（*）.这个结果可以用数学归纳法得到证明. 图2 证明：n=0时，初始点（1，0）显然满足方程（*），若点满足方程（*），即，由得，因为 所以点也满足方程（*）， 这就证明了当时，迭代点列都位于椭圆上. 理论思考有助于认识现象背后的本质，TI图形计算器使数学发现变得更容易！ 三．更上层楼 对于不同的k，猜想迭代点列位于曲线上.k=0，±1，±2时容易证明上述猜想是成立的，对于其它情形，利用图形计算器作出曲线，并改变k的值可以从直观上验证上述猜想是成立的！（如图3），这个结论同样可用数学归纳法得到证明，此处从略。 图3 从特殊到一般是人类认识事物的普遍规律，TI图形计算器可帮我们快速作出判断！随时检验我们的猜想. 四．豁然开朗 当k取不同的值时，方程表示什么曲线？用TI图形计算器分析出该曲线的对称轴为y=±x，由此我们对上述曲线作绕原点按逆时针方向旋转45O的旋转变换，令点P是曲线上任意一点，变换后的点为由，得 解得代入方程， 化简整理得到方程（**） k=0时，方程（**）表示单位圆； k=±2时，方程（**）表示两条平行直线； 当-2k2且k≠0时，方程（**）表示椭圆； 当k-2或k2时，方程（**）表示双曲线. 至此，原先的问题已经得到圆满解决，TI图形计算器功不可没！ 五．又一问题 点列中的横、纵坐标的通项公式如何求得？以k=为例，由 得，消去得 其特征方程为，解得 令代入初始条件得，解得，从而 （n∈N） 上面的xn可用图形计算器进行检验（如图4） 图4 对于其它k的取值，只要按上述方法求出相关递推数列的通项即可，TI图形计算器可以帮助我们检验所求得的结果的可靠性！ 新的问题 若点在矩阵经过m（m≥3，m∈N）次相同变换后又回到原来的位置，则k应该如何取值？这相当于解方程，利用图形计算器可以得到下面的结果（如图5）： 图5 依次连结这m个点得到的图形也很有趣： m=3时，三个点构成一个等腰三角形； m=4时四个点恰好构成一个正方形； m=5时k出现了两个不同的值，五个点可以构成一个五边形或五角星（如图6）； 图6 m=6时，k有两个值，其中k=-1时就是m=3时循环2次，k=1时，六个点构成一个六边形； m=7时，k有三个值，相应的七个点构成两种七角星或七边形(如图7)； ...... 图7 数学中从来不缺乏问题，而是缺乏发现问题的眼光，带CAS（Computer Algebra System，计算机代数系统之意）功能的TI图形计算器为数学问题的研究插上了翅膀！ 七．永无止境 旧的问题得到了解