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高二年级学科知识竞赛数学试卷 第I卷（选择题） 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是 A． B． C． D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3.若数列满足，则其前10项和为（ ） A． B. C. D. 4．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设，则下列恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7．已知函数（，，）的部分图像如图所示，则函数的解析式为 B． C． D． 8．正方体中，是的中点，为底面的中心，为棱 上的任意一点，则直线与直线所成的角为 A. B. C. D.与点的位置有关 的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ） A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 10．函数的图象是（ ） A． B． C． D． 11.设点分别为椭圆的左右焦点，为右准线，若在椭圆上存在点M，使，，点M到的距离成等比数列，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12． 已知全集，集合，集合的补集所对应区域的对称中心为，点是线段上的动点，点是轴上的动点，则周长的最小值为（ ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知向量与的夹角为120，且|＝2||＝3.若＝λ＋，且，则λ . 14．正数满足则的最小值为 . 15.设为等差数列的前n项之和，，则 . 16．对于函数，有下列4个命题： ①任取，都有恒成立； ②，对于一切恒成立； ③函数有3个零点； ④对任意，不等式恒成立. 则其中所有真命题的序号是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. （10分）已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：有最小值.若是真命题，求实数的取值范围. 18．（12分）如图所示，已知二面角α-MN-β的大小为60，菱形ABCD在面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60，E是AB的中点，DO⊥面α，垂足为O.(1)证明：AB⊥平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．19．（12分）如图所示，在中, 点为边上一点，且为的中点,. （1）求的长； （2）求的面积. 20．（12分）设函数是定义域为的奇函数；当时，． （1）当时，求； （2）对任意的，不等式都成立，求的取值范围． 21、（12分）已知椭圆的两个焦点为，且椭圆与直线相切. ⑴求椭圆的方程； ⑵过作互相垂直的直线，与椭圆分别交于及，求四边形面积的最大值和最小值. 22．（12分）已知数列的前项和为，对任意满足，且，数列满足，其前9项和为63． （1）求数列和的通项公式； （2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围； （3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和． 参考答案 一、选择题 1．D 解析：方程表示焦点在轴上的充要条件是，解得，所以选项中是的充分不必要条件的是，故选D. 2．A 解析：依题意，故. 4. A解析：，渐近线方程，因此左顶点到一条渐近线的距离为，即该双曲线的标准方程为，选A. 5. D解析：对于①，有可能，故错误；对于可能相交，故错误. 6 .D 解析： 7. D 解析：时，，代入验证，排除选项，故选. 8. C. 解析：如下图所示建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，， ，，∴，， ∴，即，故夹角为，故选C. 9．D 解析：最短距离是正方体侧面展开图，即矩形的对角线（经过）、或的对角线（经过），