高中竞赛数学讲义第51讲圆模板.docVIP

第1讲 圆 1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为(ab)，半径为r(r0)． 2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ①当D2E2－4F＞0时该方程表示圆圆心(，－)，半径r； ②当D2E2－4F＝0时该方程表示点(，－)(点圆)③当D2E2－4F＜0时该方程不表示任何曲线(虚圆)3．以(x1y1)，(x2，y2)为直径端点的圆的方程(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0； 4．圆的参数方程：圆心为(a，b)半径为r的圆的参数方程(θ为参数) 同时在学习的过程中还应该注意点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及一些相关的结论，注意待定系数法的应用． 与圆有关的问题还常常要考虑用平几方法来解． A类例题 例1．设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是( ) A． B． C． D．(2000年全国高考题) 分析 由于(x，y)在圆上，则的值可以理解为通过圆上的点与原点连线的斜率，从而比较顺利地解决问题． 解 如图，方程(x－2)2＋y2＝3的图形为圆心在(2，0)，半径为r＝的圆． 设＝k，则k为y＝kx的斜率，显然k的最大值是在直线y＝kx与圆在x轴上方相切时得到，即直线OM的斜率为k的最大值． 又|AM|＝，|OA|＝2，则∠MOA＝． 于是可得的最大值是k＝tan＝，故选D． 说明 这里运用数形结合的思想，把视为圆上一点(x，y)与原点连线的斜率是破题的“高明”之招． 本题也可以直接解出：以y＝kx代入圆的方程(k2＋1)x2－4x＋1＝0，这是关于x的二次方程，Δ＝4－(k2＋1)≥0，解得k2≤3，则k的最大值为． 例2．自点A3，3发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线L所在直线的方程1989年全国高考题) 分析 考虑作出已知圆关于x轴的对称图形——圆C，则两条入射光线均与圆C相切，以此为突破口解决问题． 解 已知圆的标准方程是x－2)2＋(y－2)2＝1， 它关于x轴的对称圆的方程是x－2)2＋(y＋2)2＝1， ① 设光线L所在直线的方程是y3＝k(x＋3)(其中斜率k待定） 由题设知对称圆的圆心C2，2)到这条直线的距离等于1，即d＝1． 整理得，12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－，或k＝－． 故所求的直线方程是y3＝－(x＋3)，或y－3＝－(x＋3)，即3x4y－3＝0，或4x3y＋3＝0． 例3．设圆满足：①截y轴所得弦长为2②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31．在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小的圆的方程．1997年全国高考题) 分析 要求圆心到直线的距离最小的圆的方程，必须先求出距离的最小值或求出何时距离最小，可以把本题先化成一个最值问题，解决之后再来求圆的方程．解法一 设圆的圆心为Pa，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴距离分别为b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r，故r2＝2b2．又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2＝a2＋1从而得2b2－a2＝1又点Pa，b)到直线x－2y＝0的距离为d＝所以5d2＝a－2b2＝a2＋4b2－4aba2＋4b2－2a2＋b2＝2b2－a2＝1当且仅当a＝b时上式等号成立，此时5d2＝1，从而d取得最小值由此有解此方程组得 由于r2＝2b2r＝于是，所求圆的方程是x－12＋y－12＝2x＋12＋y＋12＝2解法二 同解法一得d＝a－2b＝±da2＝4b2±4bd＋3d21) 将a2＝2b2－1代入1)式，整理得 2b2±4bd＋5d2＋1＝02) 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即Δ＝(±4d)2－4×2×(5d2＋1＝85d2＋10， 解得5d2≥1．所以5d2有最小值1，从而d有最小值． 将其代入2)式得2b2±4b＋2＝0解得b＝±1将b＝±1代入r2＝2b2r2＝2r2＝a2＋1a＝±1综上a＝±1b＝±1r2＝2由a－2b＝1a，b同号，于是，所求圆的方程是x－12＋y－12＝2x＋12＋y＋12＝21．过点A(1，－1)、B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 (2001年全国高考题) 2．已知当且仅当k满足a≤k≤b时，两曲线x2＋y2＝4＋12x＋6y与x2＋y2＝k＋4x＋12y有公共点，则b－a的值为 ；上海市2001高中数