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10年高一数学竞赛班选拔考试 考试时间： 试卷总分：120 班级： 姓名： 学号： 一．填空题（每小题8分，共80分） 1. 化简：的结果是 . 2. 在凸边形的所有内角中，锐角的个数最多是 个. 3. 设，则 （填“≥” ，“≤” ，“＞” ，“＜” ，“=” ）. 4. 如下图中，为直角，所对的边分别为，已知，则 （用表示）. 5. 已知：（是自然数），那么= . 6. 已知点在直角坐标系中的坐标为，为坐标原点，，且到的距离为，则的坐标为 . 7. 一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为，并且过点，则在线段上（包括端点），横、纵坐标都是整数的点有中，过三点的圆交于，且与相切，若，则的长为 . 9. 已知锐角的顶点到垂心的距离等于其外接圆半径，则的度数是 . 10．已知二次函数的图象与轴的交点分别为，与轴的交点为.设的外接圆的圆心为点，它与轴的另一个交点为.如果恰好为的直径且，则 , . 二．解答题（第11题15分，第12题25分，共40分） 11. 求证方程 没有正整数解. 12.已知都是正整数，抛物线与轴有两个不同的交点, 若到原点的距离都小于，求的最小值． 10年高一数学竞赛班选拔考试参考答案 一．填空题 1. 解： 2. 3 解：由于任何凸多边形的外角之和都是，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中 锐角最多不超过3个. 3. 解: 借助下图 知题中 4. 解：如图，延长，以为圆心，以为半径作圆交的延长线于，如下图 故在中，， 5. 解： 6. 解：借助平面直角坐标系我们知道，点有两个：图中，它们关于轴对称 如图， ，， ， 7. 4 解：在直线上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是，是 整数）,在线段上这样的点应满足∴ 即 8. 解： 如图连结AC、CE 由AE∥BC，知四边形ABCE是等腰梯形。故AC＝BE＝5 又因为DC∥AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC 则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4 因为，故 9. 解: 锐角的垂心在三角形内部 如图，设的外心为，为的中点,的延长线交⊙于点 连、 则//，// 则 所以 10. 解:? (1)首先我们证明点是定点 由题意：易求得点的坐标为，设 则 ， 设与轴的另一个交点为, 由于是的两条相交弦，它们的交点为点， 所以， 则 因为，所以点在轴的负半轴上， 从而点在轴的正半轴上，所以点为定点，它的坐标为. ?? （2）再求的值 因为，如果恰好为的直径，则关于点对称， 所以点的坐标为， 即. 又 ， 所以 解得 二．解答题 11. 证： 由原方程得 11是质数 又因为要验证方程是否有正整数解，故只需考察x,y∈的情况 故应有 ① 或 ② 考察第①式： ∴ ∴ 故①式没解 对于第②式：把代入 得到，但不整除 所以也没有正整数解 命题最后得证。 12. 解: 据题意，方程有两个相异根，都在中 故 , 且 ① 可见 ② 且 ③ 即得 由③知 又 现分别取的最小整数5、5、1 经检验，符合题意 ∴ 最小 A E C B D O H