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塞瓦定理及应用 1．基础知识 塞瓦定理 设A’、B’、C’分别是ΔABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点。若AA’、BB’、CC’三线平行或共点，则 ① 证明：若AA’、BB’、CC’交于一点P,如图1(b),过A作BC的平行线,分别交BB’、CC’的延长线于D、E，得又由，有 从而若AA’、BB’、CC’三线平行，可类似证明（略）。 注：对于图1（b）也有如下面积证法： 由即证。 塞瓦定理的逆定理 设A’、B’、C’分别是ΔABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点，若，则AA’、BB’、CC’三直线共点或三直线互相平行。 证明：若AA’与BB’交于点P，设CP与AB的交点为C1，则由塞瓦定理，有，又已知有，由此得，即，亦即AC1=AC’，故C1与C’重合，从而AA’、BB’、CC’三线共点。 若AA’∥BB’，即代入已知条件，有，由此知CC’ ∥AA’，故AA’ ∥BB’ ∥CC’。 上述两定理可合写为：设A’、B’、C’分别是ΔABC的BC、CA、AB所在直线上的点，则三直线AA’、BB’、CC’平行线或共点的充要条件是。 角元形式的塞瓦定理 设A’、B’、C’分别是ΔABC的BC、CA、AB所在直线上的点，则三直线AA’、BB’、CC’平行或共点的充要条件是 ② 证明：由，，三式相乘，再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立。 推论 设A1、B1、C1分别是ΔABC的外接圆三段弧、、上的点，则AA1、BB1、CC1共点的充要条件是 ③ 证明：设ΔABC的外接圆半径为R，AA1交BC于A’，BB1交CA于B’，CC1交AB于C’。由A、C1、B、A1、C、B1六点共圆及正弦定理，有。 同理，。 三式相乘，并应用角元形式的塞瓦定理即证。 2．综合应用 2．1 恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键 例1 四边形两组对边延长分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行。证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段。 1.证明：如图3，四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F，对角线BD∥EF，AC的延长线交EF于G。 对ΔAEF及点C，应用塞瓦定理，有 由BD∥EF，有，代入上式，得，即EG=GF，命题获证。 例2．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：AK⊥BC； 2.证明：作高AH． 则由(BDP∽(BAH，(=， 由(CDQ∽(CAH，(=．由AD平分∠BAC，(=， 由DP⊥AB，DQ⊥AC，(AP=AQ． ∴ ··=··=·=·=1， 据Ceva定理，AH、BQ、CP交于一点，故AH过CP、BQ的交点K， ∴ AK与AH重合，即AK⊥BC． 例4．在四边形ABCD中，对角线AC平分(BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：(GAC=(EAC．（1999年全国高中数学联赛） 分析 由于BE、CA、DG交于一点，故可对此图形用Ceva定理，再构造全等三角形证明两角相等． 证明 连结BD交AC于H，对⊿BCD用Ceva定理，可得··=1． 因为AH是(BAD的角平分线，由角平分线定理，可得=，故··=1．过点C作AB的平行线交AG延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J，则 =，=，所以，··=1．从而，CI=CJ．又因CI∥AB，CJ∥AD，故(ACI=π-(BAC=π-(DAC=(ACJ，因此，⊿ACI≌⊿ACJ，从而(IAC=(JAC，即(GAC=(EAC． 注：由此例可变出一些题目，这可参见练习题第⑴ ⑵题。 ⑴设P为ΔABC内一点，使∠BPA=∠CPA，G是线段AP上的点，直线BG、CG分别交边AC、AB于E、F。求证：∠BPF=∠CPE。 ⑴延长AP交BC于Q，由塞瓦定理有，由∠BPA=∠CPA知∠BPQ=∠CPQ，过A作AM∥PB交直线PF于M，作AN∥PC交直线PE于N，有，于是得AM=AN，由∠PAM=180°-∠BPA=180°-∠CPA=∠PAN，有ΔPAM≌ΔPAN，得∠BPF=∠CPE。 ABCD中，对角线AC平分∠BAD，E是CD的延长线上的一点，BE交AC于点G，延长DG交CB的延长线于F，试证：∠BAF=∠DAE。 ⑵连结EF交AC于K，令∠BAF=α，∠DAE=β，∠BAC=∠DAC=θ，由.同理,又,对ΔEFC及点G应用塞瓦定理,,得,即sinθ·sin(αβ)=0，由此可得α=β，即证。 5.证明：连结NF，对ΔABC及点G应用塞瓦定理，有。 而AE=CE，则由DN∥CG，有 于是，有，从而FN∥AD，即知四边形DNFG为平行四边形，