讨论函数单调性.docxVIP

导数微专题探究——讨论函数的单调性例1：已知函数，．讨论函数的单调区间；练习1：设函数 ，其中为常数.讨论函数的单调性.例2：已知函数．讨论的单调性；练习2：已知函数．当时，讨论的单调性；例3： （2012文）设函数 .讨论函数的单调性.例4：已知函数．讨论的单调性例5：已知函数．讨论的单调性例6：已知.讨论的单调性； 导数微专题探究——讨论函数的单调性答案例1：求导：当时，，，在上递增；当，由求得两根为即在递增，递减，递增；练习1：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝eq \f(a,x)＋eq \f(2,（x＋1）2)＝eq \f(ax2＋（2a＋2）x＋a,x（x＋1）2).当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(①当a＝－eq \f(1,2)时，Δ＝0，f′(x)＝eq \f(－\f(1,2)（x－1）2,x（x＋1）2)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a＜－eq \f(1,2)时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－eq \f(1,2)＜a＜0时，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝eq \f(－（a＋1）＋\r(2a＋1),a)，x2＝eq \f(－（a＋1）－\r(2a＋1),a).因为x1＝eq \f(a＋1－\r(2a＋1),－a)＝eq \f(\r(a2＋2a＋1)－\r(2a＋1),－a)＞0，所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．综上可得，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－eq \f(1,2)时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－eq \f(1,2)＜a0时，f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(－（a＋1）＋\r(2a＋1),a)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－（a＋1）－\r(2a＋1),a)，＋∞))上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－（a＋1）＋\r(2a＋1),a)，\f(－（a＋1）－\r(2a＋1),a)))上单调递增．例2：当时，则在单调递增，在单调递减.练习2：因为，所以 ， 令 当时，，. 所以当时，，此时，函数单调递减.（2）当时，由，即 ，解得：. ①当时，，时，,此时，函数单调递减，时，,此时，函数单调递增；②当时，，恒成立,此时，函数在上单调递减；③当时，，时，,此时，函数单调递减，时，,此时，函数单调递增，时，,此时，函数单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数在上单调递增. 函数在上单调递减。例3：例4：函数的定义域为，，①若，则，在单调递增．②若，则由得．当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．③若，则由得．当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．例5：因为，所以，， 令，则，所以在上单调递增， 因为，所以，当时，；当时，. （1）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增. （2）当时，，当时，，单调递增；（3）当时，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增； 综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.例6：当， 时，，单调递增；，单调递减.当时，.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在 内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.