高等数学不积分概念与性质.pptVIP

* * 复习 说 是 的导数. 已知 求其导数为 现在反过来说， 是 的原函数. 求其原函数 已知 第四章 不定积分 1.原函数的概念： 一、不定积分 如果在开区间I内， 可导函数 的 即当 时， 或 那么函数 称为f(x)在区间I内的原函数. 例 导数为 是 的原函数. 是 在区间 内的原函数. 2.原函数存在定理 如果函数 在开区间 内连续， 那么在 内存在可 导函数 使 简言之： 连续函数一定有原函数. 如： 问题： (1) 原函数是否唯一呢？ (2) 若不唯一， 又如： （ 为任意常数） （ 为任意常数） 它们之间有什么联系？ 3.原函数结构定理： (1) 若 是 的一个原函数， 则 都是 的原函数. (2) 若 都是 的原函数， 一个常数. 证 而 都是 的原函数. (1) (2) （ 为任意常数） 则 与 只差 即 只差一个常数. 与 注意： (1) 是积分常数，不能丢掉. (2) 不定积分也常说“积分”. 任意常数 积分号 被积函数 积分变量 被积表达式 4.不定积分的概念 函数 在开区间 内带有任意常数C的原函数 称为函数 的不定积分. 记为 定义： 5.微分法与积分法的关系 (1) (2) 先积后微， 先微后积， 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 如： d d d d dx 函数不变. 函数加 例1 求 解 解 例2 求 注意 若在提出问题时不指明区间， 则在解题时通常也 不指明求出的原函数所适用的区间， 只要确有区 间， 就有 使得 通常把求不定积分的方法称为积分法. 例3 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点(1，2), 所求曲线方程为 显然， 斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 求不定积分得到一积分曲线族. 6.不定积分的几何意义 x 不定积分 dx 表示一族函 数， 在几何上， 它们表示一族曲 线， 称为函数 的积分曲线族， 其中任何一条积分曲线都可以由 某一条沿y轴方向平移得到， 并且 积分曲线族上对应于同一坐标x 的各点处有相同的斜率 x y o 二、基本积分公式 1 2 3 4 5 C 请大家熟记以上公式 6 7 8 9 10 11 12 13 基本积分公式表(1) 三、不定积分的性质 证 （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 所以等式成立. (k是常数， 解 注意1： 注意2： 分项积分后，只需写出一个常数. 检验积分结果是否正确, 例4 求积分 看它的导数是否等于被积函数. 原式= 只需对结果求导, 解 积分方法. 直接积分法： 通过恒等变形， 把所给积分变 成公式中有的形式， 求出积分的方法. 解 例6 求 例5 求 解 解 原式= 例8 求 例7 求 解 原式= 解 原式= 例10 求 例9 求 原式= 解 原式= 解 例12 求 例11 求 *